Tìm tất cả các tam giác ABC thoả mãn: \(\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\)trong đó AB=c, AC=b và h la duong cao qua A?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Kẻ PD và BE vuông góc AC
Định lý phân giác: \(\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow\dfrac{AN}{AN+NC}=\dfrac{AB}{AB+BC}\Rightarrow\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AB}{AB+BC}=\dfrac{c}{a+c}\)
Tương tự: \(\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{b}{a+b}\)
Talet: \(\dfrac{PD}{BE}=\dfrac{AP}{AB}\)
\(\dfrac{S_{APN}}{S_{ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}PD.AN}{\dfrac{1}{2}BE.AC}=\dfrac{AP}{AB}.\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{S_{BPM}}{S_{ABC}}=\dfrac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\) ; \(\dfrac{S_{CMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{APN}+S_{BPM}+S_{CMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABC}-\left(S_{APN}+S_{BPM}+S_{CMN}\right)}{S_{ABC}}=1-\left(\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\right)\)
\(=\dfrac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
2. Do ABC cân tại C \(\Rightarrow AC=BC=a\)
\(\dfrac{BC}{AB}=k\Rightarrow AB=\dfrac{BC}{k}=\dfrac{a}{k}\)
Do đó:
\(\dfrac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\dfrac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\dfrac{2.a.a.\dfrac{a}{k}}{2a.\left(a+\dfrac{a}{k}\right)\left(a+\dfrac{a}{k}\right)}=\dfrac{k}{\left(k+1\right)^2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Sửa đề: ΔABC cân tại A
a: Sửa đề: AB là trung bình nhân của AE và AH
CF//BH
CF\(\perp\)AB
Do đó: BA\(\perp\)BH
=>ΔBAH vuông tại B
Xét ΔBAH vuông tại B có BE là đường cao
nên \(AE\cdot AH=AB^2\)
=>\(AB=\sqrt{AE\cdot AH}\)
=>AB là trung bình nhân của AE và AH
b: Từ C, kẻ CG\(\perp\)CB, \(G\in AB\)
ΔABC cân tại A
mà AD là đường cao
nên D là trung điểm của BC
Xét ΔBCG có
D là trung điểm của BC
DA//CG
Do đó: A là trung điểm của BG
Xét ΔBCG có D,A lần lượt là trung điểm của BC,BG
=>DA là đường trung bình
=>CG=2DA
=>4DA^2=CG^2
Xét ΔCBG vuông tại C có CF là đường cao
nên \(\dfrac{1}{CF^2}=\dfrac{1}{CG^2}+\dfrac{1}{CB^2}\)
=>\(\dfrac{1}{CF^2}=\dfrac{1}{4DA^2}+\dfrac{1}{CB^2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét ΔABC có AE/AB=AD/AC
nên ED//BC và ED=1/2BC
Xét ΔGBC có GH/GB=GK/GC
nên HK//BC và HK=1/2BC
=>ED//HK và ED=HK
=>EDKH là hình bình hành
b: Để DEKH là hình chữ nhật thì ED vuông góc với DK
=>AG vuông góc với BC
=>ΔABC cân tại A
=>AB=AC
Để DEKH là hình thoi thì ED=DK
=>AG=1/2BC
=>AM=2/3*1/2BC=1/3BC(Với M là trung điểm của BC)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét tam giác ABC vuông tại A có AD vuông góc với BC
=> AB2B=DC.BC; AC2=DC.BC
tam giác ABD vuông tại D có DF vuông góc với AB =>BD2=BF.AB
Tương tự DC2=CE.AC
Ta có \(\dfrac{AC^2}{AB^2}\)=\(\dfrac{DC.BC}{DB.BC}\)=\(\dfrac{DC}{DB}\)
=> \(\dfrac{AC^4}{AB^4}\)= \(\dfrac{DC^2}{DB^2}\)=\(\dfrac{CE.AC}{BF.AB}\)
=>\(\dfrac{AC^3}{AB^3}\)=\(\dfrac{CE}{BF}\)
2/ gọi E là giao của BH với AC; F là giao của CH với AB
=>BE vuông góc với AC; CF vuông góc với AB
Xét tam giác AC1B có C1F vuông góc với AB =>AC12=AF.AB (1)
Tương tự AB12=AE.AC (2)
C/m tam giác AEB đồng dạng với tam giác AFC (g.g)
=> \(\dfrac{AE}{AF}\)=\(\dfrac{AB}{AC}\) => AE.AC=AF.AB (3)
Từ (1);(2) và (3) => AB1=AC1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có
n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 – 4n2
= (n2 + 2 )2 – (2n)2
= (n2 + 2 – 2n )(n2 + 2 + 2n)
Vì n4 + 4 là số nguyên tố nên n2 + 2 – 2n = 1 hoặc n2 + 2 + 2n = 1
Mà n2 + 2 + 2n > 1 vậy n2 + 2 – 2n = 1 suy ra n = 1
Thử lại : n = 1 thì 14 + 4 = 5 là số nguyên tố
Vậy với n = 1 thì n4 + 4 là số nguyên tố.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Tu \(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{ca}{c+a}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\)
Hay \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\Leftrightarrow a=b=c\)
Thay vao M ta co: \(M=\dfrac{a\cdot a+a\cdot a+a\cdot a}{a^2+a^2+a^2}=\dfrac{2019}{2019}=\dfrac{2018}{2018}=\dfrac{2017}{2017}=\dfrac{2016}{2015+1}=1\)