Tìm giá trị nhỏ nhất của P biết P = \(\sqrt{\left(x-1890\right)^2}+\sqrt{\left(x-1969\right)^2}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(M=3\left(\sqrt{x}+1\right)^2-\left(\sqrt{x}+4\right)^2+14\)
\(=3\left(x+2\sqrt{x}+1\right)-\left(x+8\sqrt{x}+16\right)+14\)
\(=3x+6\sqrt{x}+3-x-8\sqrt{x}-16+14\)
\(=2x-2\sqrt{x}+1\)
\(=2\left(x-4\sqrt{x}+4\right)+6\sqrt{x}-7\)
\(=2\left(\sqrt{x}-2\right)^2+6\sqrt{x}-7\ge2.0+6.\sqrt{4}-7=5\)
Dấu "=" \(x=4\)
Vậy GTNN của M là 4 <=> x = 4
\(\left\{{}\begin{matrix}xz=x+4\left(1\right)\\2y^2=7xz-3x-14\\x^2+y^2=35-z^2\left(3\right)\end{matrix}\right.\left(2\right)\)
Nhận thấy \(x=0\) không là nghiệm của (1) .
\(\rightarrow z=\dfrac{x+4}{x}\)(4)
Thế (1) vào (2) .
\(2y^2=7\left(x+4\right)-3x-14=4x+14\leftrightarrow y^2=2x+7\)(\(x\ge-\dfrac{7}{2}\)) (5)
Thế (4)(5) vào (3)
\(x^2+2x+7=35-\left(\dfrac{x+4}{x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^4+2x^3-27x^2+8x+16=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x-1\right)\left(x^2+7x+4\right)=0\)\(\)
TH1 : \(x-4=0\Leftrightarrow x=4\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\pm\sqrt{15}\\z=2\end{matrix}\right.\)
TH2 : \(x-1=0\Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\pm3\\z=5\end{matrix}\right.\)
TH3 : \(x^2+7x+4=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-7+\sqrt{33}}{2}\left(TM\right)\\x=\dfrac{-7-\sqrt{33}}{2}\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-7+\sqrt{33}}{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\pm\sqrt[4]{33}\\z=-\dfrac{5+\sqrt{33}}{2}\end{matrix}\right.\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
C = ..................................................................... ( giống cái đề bài )
= ( x + 2017 ) + ( x + 2018 ) + ( x + 2019 )
= ( x + x + x ) + ( 2017 + 2018 + 2019 )
= 3x + 6054
Vì ( x + 2017 ) là căn bậc 2 của ( x+2017 )^2 => x+2017 > hoặc = 0
( x + 2018 ) ........................... ( x+2018)^2 => x+2018 > hoặc = 0
( x + 2019) ............................( x+2019 )^2 => x+2019 > hoặc = 0
SUY RA ( x+2017 ) + ( x+2018 ) + ( x+2019 ) > hoặc = 0 => 3x + 6054 > hoặc = 0
dấu đẳng thức xảy ra <=> 3x + 6054 = 0 <=> 3x = - 6054 <=> x = - 2018
Vậy C có GTNN là 0 khi x = - 2018
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài này cô cũng nghĩ là dùng phương pháp toa độ, chuyển qua hình học giải tích Oxy để giải.
Cô làm như sau:
Từ biểu thức P ta nghĩ đến công thức tính khoảng cách giữa hai điểm. Từ đó ta đặt \(A\left(-1;1\right);B\left(1;-1\right);C\left(-2;-2\right)\) và \(D\left(x;y\right)\). Khi đó ta thấy ngay \(P\left(x;y\right)=DA+DB+DC\)
Ta vẽ các điểm trên trục tọa độ:
Vậy điểm D cần tìm là điểm tạo với các cạnh tam giác góc 120o. (Để hiểu rõ thêm e có thể đọc về điểm Toricenli của tam giác ABC). Do tam giác ABC cân tại C nên D thuộc CO, nói cách khác xD = yD.
Do \(\widehat{ADB}=120^o\Rightarrow\widehat{ADO}=60^o.\) Vậy thì \(tan60^o=\sqrt{3}=\frac{OA}{DO}\)
Do \(OA=\sqrt{2}\Rightarrow DO=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
Vậy \(\sqrt{x_D^2+y_D^2}=\sqrt{2y_D^2}=\sqrt{\frac{2}{3}}\Rightarrow\left|x_D\right|=\left|y_D\right|=\frac{1}{\sqrt{3}}\). Từ hình vẽ ta có: \(x_D=y_D=-\frac{1}{\sqrt{3}}.\)
Vậy \(P\left(x;y\right)=DA+DB+DC=\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}-1\right)^2}\)
\(+\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}-1\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2}+\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+2\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+2\right)^2}\)
\(=\sqrt{6}+2\sqrt{2}.\)
Vậy min P(x;y) = \(\sqrt{6}+2\sqrt{2}\) khi \(x=y=-\frac{1}{\sqrt{3}}.\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq 0; x\neq 1$
\(P=\frac{x+\sqrt{x}-(x+2)}{\sqrt{x}+1}:\left[\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}+\frac{\sqrt{x}-4}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\right]\)
\(=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}:\frac{x-\sqrt{x}+\sqrt{x}-4}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}:\frac{x-4}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}.\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+2}\)
Với mọi $x\geq 0; x\neq 1$ thì $\sqrt{x}+2\geq 2$
$\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+2}\leq \frac{3}{2}$
$\Rightarrow P=1-\frac{3}{\sqrt{x}+2}\geq 1-\frac{3}{2}=\frac{-1}{2}$
Vậy $P_{\min}=\frac{-1}{2}$ khi $x=0$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: \(P=\left(\dfrac{2+\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right):\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{1}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
b: Để P nguyên thì \(\sqrt{x}+1⋮\sqrt{x}-1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-1\in\left\{-1;1;2\right\}\)
hay \(x\in\left\{0;4;9\right\}\)
Ta có:
\(\sqrt{\left(x-1890\right)^2}+\sqrt{\left(x-1969\right)^2}=\left|x-1890\right|+\left|x-1969\right|\)
\(=\left|x-1890\right|+\left|1969-x\right|\)
Áp dụng BĐT \(\left|A\right|+\left|B\right|\ge\left|A+B\right|\) ta được
\(\left|x-1890\right|+\left|1969-x\right|\ge\left|x-1890+1969-x\right|\)
<=>\(\left|x-1890\right|+\left|1969-x\right|\ge79\)
=> P\(\ge79\)
Dấu "=" xảy ra khi
\(\left[{}\begin{matrix}x-1890=0\\1969-x=0\end{matrix}\right.\)
<=> x=1890 hay x=1969