Question

[Đặng Cẩm Vân]

Cho hình thoi ABCD có góc A nhọn. Gọi H và K là chân các đường vuông góc hạ từ B xuống AD và CD. Gọi P và Q là chân các đường vuông góc hạ từ D xuống AB, BC. Chứng minh rằng:

a. BH=BK, DP=PQ.

b. HBQD là hình chữ nhật.

c. PK=HQ=BD và chúng đồng quy.

Answer 1

[Quỳnh Như]

a) Hai tam giác vuông BHD và BKD có:
BD là cạnh chung
\(\widehat{HDB}=\widehat{KDB}\) (ABCD là hình thoi)
Vậy \(\Delta BHD=\Delta BKD\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow\) BH = BK (hai cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự, ta cũng có: \(\Delta BPD=\Delta BQD\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow\) DP = PQ (hai cạnh tương ứng)

b) Tứ giác HBQD có:
BQ // HD (AD // BC, H \(\in\) AD, Q \(\in\) BC)
BH // QD (BH \(\perp\) AD, QD \(\perp\) BC, AD // BC)
\(\Rightarrow\) HBQD là hình bình hành.
mà \(\widehat{BHD}=90^o\) (\(\Delta BHD\) vuông tại H)
\(\Rightarrow\) HBQD là hình chữ nhật.

c) Tứ giác BPDK có:
BP // DK (AB // CD, P \(\in\) AB, K \(\in\) CD)
BK // PD (BK \(\perp\) CD, PD\(\perp\) AB, AB // CD)
\(\Rightarrow\) BPDK là hình bình hành.
mà \(\widehat{BPD}=90^o\) (\(\Delta BPD\) vuông tại P)
\(\Rightarrow\) BPDK là hình chữ nhật.
\(\Rightarrow\) PK = BD và PK \(\cap\) BD tại trung điểm của BD. (1)
Lại có: HBQD là hình chữ nhật (cm câu b)
\(\Rightarrow\) HQ = BD và HQ \(\cap\) BD tại trung điểm của BD. (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) PK = HQ = BD và chúng đồng quy.