Question

[Phạm Thị Thu Ngân]

Cho đường tròn tâm O bán kính R không đổi, AB và CD là 2 đường kính bất kỳ của (O). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt các đường thẳng BC, BD lần lượt tại M và N. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AM và AN, H là trực tâm của tam giác BPQ.

a) Chứng minh tam gác APH đồng dạng với tam giác ABQ.

b) Chứng minh AH=\(\dfrac{R}{2}\)

c) hai đường kính AB, CD phải thỏa mãn điều kiện gì để diện tích tam giác BPQ nhỏ nhất?

Answer 1

[Văn Tường]

b) Chứng minh AH = \(\dfrac{R}{2}\)

Từ câu a) suy ra: \(\dfrac{AH}{AQ}=\dfrac{AP}{AB}\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AP.AQ}{AB}=\dfrac{\dfrac{AN}{2}.\dfrac{AM}{2}}{AB}=\dfrac{AN.AM}{4AB}=\dfrac{AB^2}{4AB}\)

( Tam giác BCD vuông tại B vì CD là đường kính
nên BMN vuông tại B, có BA là đường cao nên AM.AN = AB² ,theo hệ thức lượng trong tam giác vuông) \(=\dfrac{AB}{4}=\dfrac{2R}{4}=\dfrac{R}{2}\)

c) S_BPQ = \(\dfrac{AB.PQ}{2}=\dfrac{AB\left(AP+AQ\right)}{2}=\dfrac{AB.\left(\dfrac{AN+AM}{2}\right)}{2}=\dfrac{AB.\left(AN+AM\right)}{4}\)

S_BPQ nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\dfrac{AB\left(AN+AM\right)}{4}\) nhỏ nhất

Mà AB = 2R không đổi
Nên S_BPQ nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\) AM + AN nhỏ nhất
Vì AM.AN = AB² = 4R² không đổi
Nên AM + AN nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\)AM = AN \(\Leftrightarrow\) AB\(\perp\)CD

Answer 2

[Văn Tường]

Phần a) và vẽ hình dễ hơn tự làm nha