Question

[Tường Nguyễn Thế]

Chứng minh rằng: Nếu a là số tự nhiên không chia hết cho 5 thì \(M=a^8+3a^4-4\) chia hết cho 100

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Nếu $a$ là số tự nhiên không chia hết cho $5$ thì xét các TH sau:

+) \(a\equiv 1\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 1\pmod 5\)

+) \(a\equiv 2\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 4\pmod 5\)

+) \(a\equiv 3\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 9\equiv 4\pmod 5\)

+) \(a\equiv 4\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 16\equiv 1\pmod 5\)

Như vậy, khi a là số không chia hết cho $5$ thì \(a^2\equiv 1,4\pmod 5\)

----------------------------------------

Ta có:

\(M=a^4(a^4-1)+4(a^4-1)\)

\(M=(a^4-1)(a^4+4)\)

Nếu \(a^2\equiv 1\pmod 5\Rightarrow a^4\equiv 1\pmod 5\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^4-1\vdots 5\\ a^4+4\vdots 5\end{matrix}\right.\Rightarrow M=(a^4-1)(a^4+4)\vdots 25\)

Nếu \(a^2\equiv 4\pmod 5\) \(\Rightarrow a^4\equiv 16\equiv 1\pmod 5\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^4-1\vdots 5\\ a^4+4\vdots 5\end{matrix}\right.\Rightarrow M=(a^4-1)(a^4+4)\vdots 25\)

Vậy trong mọi TH thì \(M\vdots 25\) (*)

Mặt khác:

\(M=(a-1)(a+1)(a^2+1)(a^2-2a+2)(a^2+2a+2)\)

Nếu a chẵn thì \(a^2-2a+2\vdots 2; a^2+2a+2\vdots 2\)

\(\Rightarrow M\vdots 4\)

Nếu a lẻ thì \(a-1\vdots 2; a+1\vdots 2\Rightarrow M\vdots 4\)

Vậy M luôn chia hết cho $4$ (**)

Từ (*) và (**) kết hợp với (25, 4) nguyên tố cùng nhau suy ra \(M\vdots 100\)