Cho \(b_1,b_2,.....b_{2014}\)là các số tự nhiên có tổng bằng \(2013^{2014}\)
Chứng minh rằng \(A=b^{3_1}+b^{3_2}+...+b^3_{2014}\) chia hết cho 3.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 5 2018
Ta có: \(a^3_n-a_n=\left(a_n-1\right)a_n\left(a_n+1\right)⋮3\)
\(\Rightarrow\left(a^3_1+a^3_2+...+a^3_{2016}\right)-\left(a_1+a_2+...+a_{2016}\right)⋮3\)
Mà \(a_1+a_2+...+a_{2016}⋮3\)
\(\Rightarrow A=a_1^3+a_2^3+...+a^3_{2016}⋮3\)
=> ĐPCM
RR
15 tháng 5 2018
Ta có tính chất sau
\(\left(a_1^n+a_2^n+a_3^n+...+a_m^n\right)⋮\left(a_1+a_2+a_3+....+a_m\right)\)
Với \(\hept{\begin{cases}n\equiv1\left(mod2\right)\\a,m,n\in N\end{cases}}\)
(Tự chứng minh)
Áp dụng tính chất trên vào bài
Nhận thấy 3 là số lẻ
=> \(A=\left(a_1^3+a_2^3+....+a_{2016}^3\right)⋮\left(a_1+a_2+....+a_{2016}\right)\)
<=> \(A⋮3\)
Vậy ............
NN
4 tháng 1 2017
ta có 20132014= a1 + a2 +…+a2013
Đặt S = a13 + a23 + ….+ a20133
S - 20132014= a13 + a23 + ….+ a20133 - (a1 + a2 +…+a2013)
= (a13 - a1) + (a13 - a1) +...+ (a13 - a1)
ta có bài toán phụ sau:
x3 - x = x(x2 - 1) = x(x-1)(x+1) (vì x2 - 1 = (x+1)(x-1))
Ta thấy x(x-1)(x+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích đó phải chia hết
Vậy x3 - x chia hết cho 3
Từ kết luận của bài toán phụ trên mà ta suy ra được mỗi hiệu của tổng trên đều chia hết cho 3 nên tổng đó chia hết cho 3
Suy ra S và 20132014 khi chia cho 3 thì cùng có số dư như nhau
Mà 2013 chia hết cho 3 nên 20132014 chia hết cho 3
Vậy S chia hết cho 3 hay a13 + a23 + ….+ a20133 chia hết cho 3( điều phải chứng minh)
ST
21 tháng 10 2015
a) Tự làm ( QUÁ DỄ ) !!!
b ) Trường hợp 1 : Nếu n = 2k
Thì 2k ( 2k + 2013 )
Một số chẵn cộng 1 số lẻ thì có tổng là : số lẻ
Mà 1 số chẵn nhân 1 số lẻ thì có tích là : số chẵn ( chia hết cho 2 )
Trường hợp 2 : Nếu n = 2k + 1
Thì 2k + 1 ( 2k + 1 + 2013 )
= 2k + 1 ( 2k + 2014 )
Một số chẵn cộng 1 số chẵn thì có tổng là 1 : số chẵn
Một số lẻ nhân 1 thì có tích là : số chẵn ( chia hết cho 2 )
=> n ( n + 2013 ) với mọi n luôn chia hết cho 2 ( đpcm )
Ta có:
\(\left(b_1+b_2+...+b_{2014}\right)^3=\left(b_1^3+b_2^3+...+b_{2014}^3\right)+3B⋮3\)
\(\Rightarrow A⋮3\)
@Nguyễn Việt Lâm