Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC). Gọi E là trung điểm BC. Trên tia AE lấy điểm D sao cho E là trung điểm của AD.
a) Chứng minh: Tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
b) Trên tia CA lấy điểm K sao cho A là trung điểm của CK. Gọi F là trung điểm BK. Chứng minh: Tứ giác ACEF là hình bình hành.
c) Từ D vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại H, tia DH cắt đường thẳng FA tại I. Chứng minh: Tứ giác FIEB là hình thang cân.
d) Chứng minh góc FIB = góc CDI.
a) Trong \(\Delta ABC\) vuông tại A có: AE là đường trung tuyến ứng với BC
\(\Rightarrow AE=\dfrac{1}{2}BC=BE=EC\)
Ta có: E là tđ của AD; E là tđ của BC
\(\Rightarrow\) AD và BC là 2 đường chéo trog tứ giác ABDC cắt nhau tại tđ E (1)
Vì AE = ED mà AE = BE (c/m trên)
=> AE = ED = BE = EC
=> AE + ED = BE + EC
=> AD = BC (2)
Từ (1) và (2) => ABDC là HCN.
b) Trong \(\Delta BKC\) có:
F là tđ của BK; E là tđ của BC
=> EF là đường tb => \(EF//=\dfrac{1}{2}CK=AC\)
=> ACEF là HBH
c) C/m: AE là đường tb trong \(\Delta BCK\)
=> AE // BK
=> \(\widehat{BFI}=\widehat{EAI}\) (đồng vị) (*)
C/m: AF là đg tb trog \(\Delta BCK\)
=> AF // BC hay AI // EH
mà E là tđ của AD (3) => H là tđ của ID
Khi đó kết hợp vs (3) đc EH là đg tb trog \(\Delta ADI\)
=> EH // AI => \(\widehat{DHE}=\widehat{AID}=90^o\)
=> \(\Delta AID\) vuông tại I
Lại có trog tg AID có EI là trung tuyến ứng với AD
=> \(EI=\dfrac{1}{2}AD=AE=ED\)
=> \(\Delta AEI\) cân tại E
=> \(\widehat{EAI}=\widehat{EIA}\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra \(\widehat{BFI}=\widehat{EIA}\)
=> FIEB là hthang cân.
d) Gọi O là giao điểm của BI và EF
Theo kết quả câu c c/m đc:
OF = OI => \(\Delta OFI\) cân tại O
=> \(\widehat{OFI}=\widehat{OIF}\) mà \(\widehat{OFI}=\widehat{ECA}\) (góc đối HBH)
=> \(\widehat{OIF}=\widehat{ECA}\) (a)
Lại có: \(\widehat{ECA}+\widehat{DCH}=90^o\)
\(\widehat{DCH}+\widehat{CDI}=90^o\)
Khi đó: \(\widehat{ECA}=\widehat{CDI}\) (b)
Từ (a) và (b) => \(\widehat{OIF}=\widehat{CDI}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{FIB}=\widehat{CDI}\).
Neu mk la bn thi mk se cam thay rat nan vi mk da mat bao cong suc de viet ra bai nay de dang nhung chang co luot like nao het > Buon nhi ?![gianroi gianroi](https://hoc24.vn/media/cke24/plugins/smiley/images/gianroi.png)