Cho tam giác ABC, đường thẳng d đi qua A và không cắt cạnh BC. Gọi D,E thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B,C xuống d. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh tam giác MDE cân
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét tứ giác ADHE có
\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)
=>ADHE là hình chữ nhật
=>\(\widehat{AED}=\widehat{AHD}\)
AM\(\perp\)DE
=>\(\widehat{AED}+\widehat{MAC}=90^0\)
mà \(\widehat{AED}=\widehat{AHD}\left(cmt\right)\)
và \(\widehat{AHD}=\widehat{ABH}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)
nên \(\widehat{ABH}+\widehat{MAC}=90^0\)
mà \(\widehat{ABH}+\widehat{MCA}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)
nên \(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)
=>MA=MC
\(\widehat{MAC}+\widehat{MAB}=\widehat{BAC}=90^0\)
\(\widehat{MCA}+\widehat{MBA}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)
mà \(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)
nên \(\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\)
=>MA=MB
mà MA=MC
nên MB=MC
=>M là trung điểm của BC
( Hình em tự vẽ nhé! )
Lấy O là giao điểm DE và HA
+ Xét tứ giác ADHE có:
\(\widehat{HDA}=\widehat{DAE}=\widehat{AEH}=90^o\)
=> ADHE là hình chữ nhật
=> O là trung điểm AH (t/c)
O là trung điểm DE (t/c)
=> OA = OH = OD = OE
=> ΔAOE cân tại O
=> \(\widehat{OAE}=\widehat{OEA}\left(tc\right)\)
+ Xét ΔABH vuông tại H
=> \(\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90^o\)
Mà \(\widehat{BAH}+\widehat{CAH}=90^o\)
=> \(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\)
Mà \(\widehat{CAH}=\widehat{OEH}\)
\(\widehat{ABH}=\widehat{AEO}\)
+ Xét ΔADE và ΔACB có:
\(\widehat{DAE}=\widehat{CAB}\left(=90^o\right)\)
\(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)
=> ΔADE \(\sim\) ΔACB (g.g)
=> \(\widehat{ADE}=\widehat{ACB}\left(2gtu\right)\)
Lấy I là giao điểm AM và DE
+ Xét ΔAIE vuông tại I
=> \(\widehat{IAE}+\widehat{IEA}=90^o\)
Mà \(\widehat{BAM}+\widehat{MAC}=90^o\)
=> \(\widehat{IEA}=\widehat{MAB}\)
Mà \(\widehat{IEA}=\widehat{ABC}\)
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{BAM}\)
=> ΔABM cân tại M
=> MA = MB (t/c)
+ Xét ΔAID vuông tại I
=> \(\widehat{IDA}+\widehat{IAD}=90^o\)
Mà \(\widehat{IAD}+\widehat{MAC}=90^o\)
=> \(\widehat{IDA}=\widehat{MAC}\)
Mà \(\widehat{IDA}=\widehat{ACM}\)
=> \(\widehat{MAC}=\widehat{ACM}\)
=> ΔMAC cân tại M
=> MA = MC (t/c)
Mà MA = MB
=> MB = MC
=> M là trung điểm BC.
a: Xét ΔABH vuông tại H và ΔACH vuông tại H có
AB=AC
AH chung
DO đó: ΔABH=ΔACH
b: Xét ΔEDH vuông tại D và ΔEDC vuông tại D có
ED chung
HD=CD
Do đó: ΔEDH=ΔEDC
hình vẽ bạn tự vẽ:
a) ΔABC vuông cân tại A ⇒ AB = AC
Có: ∠CAE + ∠BAD = ∠BAC = 90o90o (1)
ΔACE vuông tại E ⇒ ∠ACE + ∠CAE = 90o90o (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ∠BAD = ∠ACE
Xét ΔABD và ΔCAE có:
∠ADB = ∠CEA = 90o90o
AB = AC (cmt)
∠BAD = ∠ACE (cmt)
⇒ ΔABD = ΔCAE (CH-GN)
⇒ AD = CE (2 cạnh tương ứng)
b) m chưa làm đc
Giúp câu b theo yêu cầu chủ tus.
Theo câu a thì \(\Delta AEC=\Delta BDA\Rightarrow BD=AE\left(1\right)\)
AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AM=BM=CM ( 2 ) ( tự chứng minh,trên mạng có đầy )
Tam giác ABC vuông cân nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45^0\)
Ta có:\(\widehat{MBD}=\widehat{BDA}-\widehat{DAB}-\widehat{ABC}=90^0-45^0-\widehat{DAB}=45^0-\widehat{DAB}\)
Mặt khác \(\widehat{MAE}=\widehat{BAC}-\widehat{MAC}-\widehat{BAE}=90^0-45^0-\widehat{DAB}=45^0-\widehat{DAB}\)
Khi đó \(\widehat{MBD}=\widehat{MAE}\left(3\right)\)
Từ ( 1 );( 2 );( 3 ) suy ra \(\Delta DBM=\Delta EAM\left(c.g.c\right)\Rightarrow EM=DM\left(4\right);\widehat{EMA}=\widehat{BMD}\)
Mà \(\widehat{EMA}+\widehat{EMB}=90^0\Rightarrow\widehat{BMD}+\widehat{EMB}=90^0\Rightarrow\widehat{EMD}=90^0\left(5\right)\)
Từ \(\left(4\right);\left(5\right)\Rightarrow\Delta EMD\) vuông cân tại M
Suy ra \(\widehat{MED}=45^0\Rightarrow\widehat{MEC}=45^0\Rightarrow EM\) là phân giác ( đpcm )
P/S:Bài giải ko thể tránh khỏi sai sót,các bn bỏ qua cho
Bài 1:
a: Ta có: ΔBKC vuông tại K
mà KM là đường trung tuyến
nên KM=BC/2(1)
Ta có: ΔBHC vuông tại H
mà HM là đường trung tuyến
nên HM=BC/2(2)
Từ (1)và (2) suy ra MH=MK
hay ΔMHK cân tại M
b: Kẻ MN vuông góc với HK
=>N là trung điểm của HK
Xét hình thang CBDE có
M là trung điểm của BC
MN//DB//EC
DO đó: N là trung điểm của DE
=>DK=HE