x^2y+y^2z+z^2x +xy^2+yz^2+zx^2+3xyz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
6 tháng 4 2017
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) ta tìm được \(P=9\)
Ta sẽ chứng minh nó là \(GTLN\) của \(P\)
Thật vậy, ta cần chứng minh
\(Σ\frac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}\le\frac{3\left(xy+yz+xz\right)}{xyz}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{3}{x}-\frac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\frac{\left(x-y\right)\left(x-6y\right)}{x\left(4x^2-xy+2y^2\right)}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(\frac{\left(x-y\right)\left(x-6y\right)}{x\left(4x^2-xy+2y^2\right)}+\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\frac{\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)}{xy\left(4x^2-xy+2y^2\right)}\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(P_{Max}=9\) khi \(x=y=z=1\)
16 tháng 4 2017
Cách giải khác:
Ta chứng minh bổ đề:
\(\dfrac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}\le\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)(Đúng)
Tương tự ta cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{11y+4z}{4y^2-yz+2z^2}\le\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z};\dfrac{11z+4x}{4z^2-xz+2x^2}\le\dfrac{2}{z}+\dfrac{1}{x}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P\le\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{3}{z}=\dfrac{3\left(xy+yz+xz\right)}{xyz}=9\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
16 tháng 4 2017
Câu hỏi của Neet - Toán lớp 10 | Học trực tuyến đổi biến (a,b,c)->(x,y,z) là y nhau
DM
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 8 2020
Lời giải:
Xét mẫu thức:
$2xy^2+2yz^2+2zx^2+3xyz=(xy^2+yz^2+zx^2)+(xy^2+xyz)+(yz^2+xyz)+(xz^2+xyz)$
$=xy^2+yz^2+zx^2+xy(y+z)+yz(z+x)+xz(x+y)$
$=xy^2+yz^2+zx^2-(x^2y+y^2z+z^2x)$
$=(x-y)(y-z)(z-x)$
$\Rightarrow (2xy^2+2yz^2+2zx^2)^2=(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2$
Xét tử thức:
$(xy+2z^2)(yz+2x^2)(xz+2y^2)$
$=[xy+z^2-z(x+y)][yz+x^2-x(z+y)][xz+y^2-y(x+z)]$
$=(z-x)(z-y)(x-y)(x-z)(y-x)(y-z)=-(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2$
Do đó: $A=-1$
T
3 tháng 8 2019
Xét nào:)
Từ giả thiết suy ra x + y + z > 3
Ta có: \(P=2x^2+xy+2y^2=\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2\)
Suy ra \(\sqrt{2x^2+xy+y^2}\ge\sqrt{\frac{5}{4}}.\left(x+y\right)=\frac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế: \(P\ge\sqrt{5}\left(x+y+z\right)\ge3\sqrt{5}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
Is it right?!?
MN
0
Câu hỏi của Lê Thu Hoài - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath