cho tam giác KFC (FK>KC) có M là giao điểm của 3 đường cao FD, CN, KH. Chứng minh HK là Phân giác góc NHD
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Dễ thấy \(\widehat{HKF}=\widehat{HCM}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\))
Xét tam giác HKF và HCM, có: \(\widehat{KHF}=\widehat{CHM}\left(=90^o\right)\) và \(\widehat{HKF}=\widehat{HCM}\) (cmt)
Suy ra \(\Delta HKF~\Delta HCM\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{HK}{HC}=\dfrac{HF}{HM}\) \(\Rightarrow HK.HM=HC.HF\)
Mà \(HC.HF\le\dfrac{\left(HC+HF\right)^2}{4}=\dfrac{FC^2}{4}\) (BĐT Cô-si), suy ra \(HK.HM\le\dfrac{FC^2}{4}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow HC=HF\) \(\Leftrightarrow\) H là trung điểm CF \(\Leftrightarrow\Delta KFC\) cân tại K.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét ΔBKC có
KH,CA là đường cao
KH cắt CA tại E
=>E là trực tâm
=>BE vuông góc KC
b: Xét ΔBAE vuông tại A và ΔBHE vuông tại H có
BE chung
góc ABE=góc HBE
=>ΔBAE=ΔBHE
=>BA=BH
c: Xét ΔBKC có
BE vừa là đường cao, vừa là phân giác
=>ΔBKC cân tại B
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1 phần thôi nhé
Nối BE, Gọi P là giao điểm của AD với BE.
Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABE => AH/HE=BP/PE=> HP//AB(1).
Từ (1)=> Tam giác AHP cân tại H=> AH=HP.(2)
Ta cần chứng minh AD//CE <=> DP//CE <=> BD/BC=BP/BE <=> BD/BC=1-(EP/BE).(3)
Mà EP/BE=HP/AB (do (1))=> EP/BE= AH/AB=HD/DB (do (2) và tc phân giác). (4)
Khi đó (3)<=> BD/BC=1-(HD/DB) hay (BD/BC)+(HD/DB)=1 <=> BD^2+HD*BC=BC*DB
<=> BD^2+HD*BC= (BD+DC)*BD <=> BD^2+HD*BC= BD^2+BD*DC <=> HD*BC=BD*DC
<=> HD/DB=CD/BC <=> AH/AB=CD/BC. (5)
Chú ý: Ta cm được: CA=CD (biến đổi góc).
Nên (5) <=> AH/AB=CA/BC <=> Tg AHB đồng dạng Tg CAB.( luôn đúng)
=> DpCm.
Xét tứ giác MNFH có \(\widehat{MNF}+\widehat{MHF}=180^0\)
nên MNFH là tứ giác nội tiếp
Suy ra: \(\widehat{KFD}=\widehat{NMH}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung NM)(1)
Xét tứ giác MHCD có \(\widehat{MHC}+\widehat{MDC}=180^0\)
nên MHCD là tứ giác nội tiếp
Suy ra: \(\widehat{MHD}=\widehat{NCK}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung MD)(2)
Ta có: \(\widehat{KFD}+\widehat{FKC}=90^0\)
\(\widehat{NCK}+\widehat{FKC}=90^0\)
Do đó: \(\widehat{KFD}=\widehat{NCK}\)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat{NHK}=\widehat{DHK}\)
hay HK là tia phân giác của góc NHD