Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By. Từ một điểm C ( khác
A,B) trên đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba, tiếp tuyến này cắt Ax tại E và By tại F ,
a) Chứng minh AE + BF = EF
b) AC cắt EO tại M ; BC cắt OF tại N. C/m: MN // AB
c) Chứng minh OF//AC
d) Chứng minh MC . OE = EM . OF
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a. ta có do tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau nên \(\hept{\begin{cases}AE=EC\\BF=FC\end{cases}\Rightarrow AE+BF=CE+CF=EF}\)
b.Do tính chất của giao điểm của tiếp tuyến, ta có M là trung điểm CA, N là trung điểm CB nên MN là đường trung bình của tam giascABC nên MN//AB.
C. do \(\hept{\begin{cases}AC\perp BC\\BC\perp OF\end{cases}}\) nên AC/;/OF
d.Do OF//AC nên
\(\Delta MEC~\Delta OEF\Rightarrow\frac{ME}{MC}=\frac{OE}{OF}\Rightarrow ME.OF=MC.OE\)
C.
a: Xét (O) có
CA,CM là tiếp tuyến
nênCA=CM và OC là phân giác của góc AOM(1)
mà OA=OM
nên OC là trung trực của AM
=>OC vuông góc với AM
Xét (O) có
DM,DB là tiếp tuyến
nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)
Xét (O)có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>MB vuông góc MA
=>MB//OC
b: Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ
=>OC vuông góc với OD
mà OM vuông góc DC
nên MC*MD=OM^2
=>AC*BD=R^2
c: Gọi H là trung điểm của CD
Xét hình thang ABDC có
H,O lần lượtlà trung điểm của CD,AB
nên HO là đường trung bình
=>HO//AC//BD
=>HO vuông góc với AB
=>AB là tiếp tuyến của (H)
a) Xét (O) có
NA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)
NE là tiếp tuyến có E là tiếp điểm(gt)
Do đó: ON là tia phân giác của \(\widehat{AOE}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
hay \(\widehat{AOE}=2\cdot\widehat{EON}\)
Xét (O) có
ME là tiếp tuyến có E là tiếp điểm(gt)
MB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
Do đó: OM là tia phân giác của \(\widehat{EOB}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
hay \(\widehat{EOB}=2\cdot\widehat{EOM}\)
Ta có: \(\widehat{EOA}+\widehat{EOB}=180^0\)(hai góc kề bù)
hay \(2\cdot\widehat{EON}+2\cdot\widehat{EOM}=180^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{EON}+\widehat{EOM}=90^0\)
hay \(\widehat{MON}=90^0\)(đpcm)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào \(\Delta\)ONM vuông tại O có OE là đường cao ứng với cạnh huyền NM, ta được:
\(ME\cdot NE=OE^2\)
mà OE=R
nên \(ME\cdot NE=R^2\)(đpcm)
CHO NỬA ĐƯỜNG TRÒN (O;R) ĐƯỜNG KÍNH AB. TỪ A VÀ B KẺ HAI TIẾP TUYẾN AX VÀ BY VỚI NỬA ĐƯỜNG TRÒN . QUA ĐIỂM M BẤT KÌ THUỘC NỬA ĐƯỜNG TRÒN KẺ TIẾP TUYẾN THỨ BA CẮT AX ,BY LẦN LƯỢT TẠI E VÀ F . NỐI AM CẮT OE TẠI P, NỐI BM CẮT OF TẠI Q. HẠ MH VUÔNG GÓC VỚI AB TẠI HA, CHỨNG MINH…
a, Vì AE là tiếp tuyến đường tròn (O), A là tiếp điểm
EF là tiếp tuyến đường tròn (O), C là tiếp điểm
=> EA = EF ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ) (1)
Vì FC là tiếp tuyến đường tròn (O), C là tiếp điểm
FB là tiếp tuyến đường tròn (O), B là tiếp điểm
=> FC = FB ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau (2)
Lấy (1) + (2) => EC + FC = EA + FB => EF = EA + FB
b, bạn có rất nhiều cách cm nhé
Ta có : EA = EF (cma )
OA = OC = R
=> EO là đường trung trực đoạn AF
hay EO cắt AF tại M
Ta có : FC = FB ( cma )
OB = OC = R
=> OF là đường trung trực đoạn BC
hay FO cắt BC tại N
c, *) Vì EO là đường trung trực ( cmb )
=> \(EO\perp AC\)và \(AM=MC=\frac{AC}{2}\)
hay M là trung điểm AC
Vì OF là đường trung trực ( cmb )
=> \(OF\perp BC\)và \(CN=NC=\frac{BC}{2}\)
hay N là trung điểm BC
Xét tam giác ABC có : M là trung điểm AC
N là trung điểm AB
=> MN là đường trung bình tam giác ABC
=> MN // AB và MN = AB/2
*) Vì C thuộc đường tròn (O)
AB là đường kính => ^ACB = 900 ( tính chất điểm thuộc đường tròn nhìn đường kính )
=> \(AC\perp BC\)(1)
mà OF là đường trung trực => \(OF\perp BC\)(2)
Từ (1) ; (2) suy ra AC // OF ( tính chất vuông góc đến song song )
d, Ta có : AC // OF ( cmt ) mà ^EMC = 900
=> ^EOF = 900
Xét tam giác MCE và tam giác OFE
^EMC = ^EOF = 900 ( cmt )
^E _ chung
Vậy tam giác MCE ~ tam giác OFE ( g.g )
=> \(\frac{MC}{OF}=\frac{ME}{OE}\Rightarrow MC.OE=ME.OF\)