Bai 1: Cho a2=b.c. Chứng minh: \(\dfrac{a^2+c^2}{a^2+b^2}=\dfrac{c}{d}\)
Bài 2: Cho: \(^{\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}}\). Chứng minh: \(\dfrac{a^2-b^2}{b^2-c^2}\)=\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(b-c\right)^2}\)
GIÚP KHẨN CẤP NHA !
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2022
1.
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{a}{2a+a+b+c}=\dfrac{a}{25}.\dfrac{\left(2+3\right)^2}{2a+a+b+c}\le\dfrac{a}{25}\left(\dfrac{2^2}{2a}+\dfrac{3^2}{a+b+c}\right)=\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{a}{a+b+c}\)
Tương tự:
\(\dfrac{b}{3b+a+c}\le\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{b}{a+b+c}\)
\(\dfrac{c}{a+b+3c}\le\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{c}{a+b+c}\)
Cộng vế:
\(VT\le\dfrac{6}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=\dfrac{3}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2022
2.
Đặt \(\dfrac{x}{x-1}=a;\dfrac{y}{y-1}=b;\dfrac{z}{z-1}=c\)
Ta có: \(\dfrac{x}{x-1}=a\Rightarrow x=ax-a\Rightarrow a=x\left(a-1\right)\Rightarrow x=\dfrac{a}{a-1}\)
Tương tự ta có: \(y=\dfrac{b}{b-1}\) ; \(z=\dfrac{c}{c-1}\)
Biến đổi giả thiết:
\(xyz=1\Rightarrow\dfrac{abc}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}=1\)
\(\Rightarrow abc=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca=a+b+c-1\)
BĐT cần chứng minh trở thành:
\(a^2+b^2+c^2\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-2\left(a+b+c-1\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
thì nó khó thiệt mà
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 2 2020
Bài 1:
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=t\Rightarrow a=bt; c=dt$. Khi đó:
\(\frac{2a^2-3ab+5b^2}{2a^2+3ab}=\frac{2(bt)^2-3.bt.b+5b^2}{2(bt)^2+3bt.b}=\frac{b^2(2t^2-3t+5)}{b^2(2t^2+3t)}\)
$=\frac{2t^2-3t+5}{2t^2+3t}(1)$
\(\frac{2c^2-3cd+5d^2}{2c^2+3cd}=\frac{2(dt)^2-3.dt.d+5d^2}{2(dt)^2+3dt.d}=\frac{d^2(2t^2-3t+5)}{d^2(2t^2+3t)}=\frac{2t^2-3t+5}{2t^2+3t}(2)\)
Từ $(1);(2)$ suy ra đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 2 2020
Bài 2:
Từ $\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\Rightarrow c^2=ab$. Khi đó:
$\frac{b^2-c^2}{a^2+c^2}=\frac{b^2-ab}{a^2+ab}=\frac{b(b-a)}{a(a+b)}$ (đpcm)
31 tháng 10 2017
Bài 1:
Áp dụng t.c của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\\ =\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\dfrac{a^3}{b^3}=\dfrac{a.b.c}{b.c.d}=\dfrac{a}{d}\left(dpcm\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 12 2021
Đẳng thức đầu tiên sai:
Ví dụ: \(a=1;b=2;c=3;d=6\) thì \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
Nhưng \(\dfrac{a.d}{c.d}\ne\dfrac{a^2-b^2}{b^2-d^2}\)
Với đẳng thức thứ 2:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{c^2}=\dfrac{b^2}{d^2}=\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)
T
25 tháng 1 2021
a) Ta có:
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}\)
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$
b) BĐT \(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
Hay là \(2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\),
đúng.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$
c) \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2+2\right)^2}{x^2+1}\ge4\Leftrightarrow x^4+4x^2+4\ge4x^2+4\Leftrightarrow x^4\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi $x=0.$
d) Xét hiệu hai vế đi bạn.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 5 2018
Lời giải:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} a+b-c=x\\ b+c-a=y\\ c+a-b=z\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b=\frac{x+y}{2}\\ c=\frac{y+z}{2}\\ a=\frac{x+z}{2}\end{matrix}\right.\) \((x,y,z>0\) do $a,b,c$ là ba cạnh tam giác ).
BĐT cần chứng minh tương đương với :
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{4}{(x+y)^2}+\frac{4}{(y+z)^2}+\frac{4}{(z+x)^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{2}{xy}\)
\(\Rightarrow 2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\geq \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)
Theo BĐT S.Vacso: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\Rightarrow 2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\geq \frac{16}{(x+y)^2}(*)\)
Hoàn toàn tương tự:
\(2\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\geq \frac{16}{(y+z)^2}; 2\left(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\right)\geq \frac{16}{(z+x)^2}(**)\)
Cộng theo vế \((*); (**)\) và rút gọn suy ra:
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{4}{(x+y)^2}+\frac{4}{(y+z)^2}+\frac{4}{(z+x)^2}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$
GH
18 tháng 6 2023
Đặt \(x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{1}{b},z=\dfrac{1}{c}\) khi đó thu được \(xyz=1\)
Ta có:
\(\dfrac{1}{a^2\left(b+c\right)}=\dfrac{x^2}{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\dfrac{x^2yz}{y+z}=\dfrac{x}{y+z}\)
BĐT cần chứng minh được viết lại thành:\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y+z}+1\right)+\left(\dfrac{y}{z+x}+1\right)+\left(\dfrac{z}{x+y}+1\right)\ge\dfrac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{x+y}\right)\ge\dfrac{9}{2}\)
Đánh giá cuối cùng đúng theo BĐT Cauchy
Vậy BĐT được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Xem lại đề đi
Hình như sai