Cho x, y, m, n là các số nguyên thỏa mãn x + y = m + n. Chứng minh rằng S = x2 + y2 + m2 + n2 bằng tổng bình phương của ba số nguyên
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\).
Do đó ta có: \(x+y+xy=x+y-2xy+3xy\le x+y-2xy+\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\le x+y-2xy+\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)-1\right]\le0\)
\(\Leftrightarrow0\le x+y\le4\).
Do đó m = 0, n = 4.
Vậy m2 + n2 = 16. Chọn A.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(x+y=m+n\Rightarrow n=x+y-m\)
\(\Rightarrow S=x^2+y^2+m^2+\left(x+y-m\right)^2\)
\(=x^2+y^2+m^2+(x^2+y^2+m^2+2xy-2mx-2my)\)
\(=x^2+y^2+m^2+(x^2+y^2+m^2+2xy-2mx-2my)\)
\(=x^2+y^2+m^2+x^2+y^2+m^2+2xy-2mx-2my\)
\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(m^2-2mx+x^2\right)+\left(m^2-2my+y^2\right)\)
\(=\left(x+y\right)^2+\left(m-x\right)^2+\left(m-y\right)^2\)
Vì x, y, m, n \(\in\) Z nên x + y; m - x; m - y là số nguyên
Vậy S luôn bằng tổng các bình phương của 3 số nguyên
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giả sử \(y\) là số lẻ
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-y=m^2\\x^2+y=n^2\end{matrix}\right.\left(m,n\inℕ;m< n\right)\)
\(\Rightarrow2y=n^2-m^2\) \(\Rightarrow n^2-m^2\) chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4.
Thế nhưng, ta thấy \(n^2\) và \(m^2\) khi chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1, vậy nên \(n^2-m^2\) khi chia cho 4 sẽ chỉ có số dư là \(0,1,-1\), nghĩa là nếu \(n^2-m^2\) mà chia hết cho 2 thì buộc hiệu này phải chia hết cho 4, mâu thuẫn. Vậy điều giả sử là sai \(\Rightarrow\) đpcm.
\(x+y=m+n\Rightarrow x+y-m-n=0\Rightarrow2x\left(x+y-m-n\right)=0\)
Do đó: \(S=x^2+y^2+m^2+n^2+2x\left(x+y-m-n\right)\)
\(S=x^2+y^2+m^2+n^2+2x^2+2xy-2xm-2xn\)
\(S=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xm+m^2\right)+\left(x^2-2xn+n^2\right)\)
\(S=\left(x+y\right)^2+\left(x-m\right)^2+\left(x-n\right)^2\)
Vậy \(x^2+y^2+m^2+n^2\) bằng tổng bình phương của ba số nguyên