Cho tam giác ABC có A cố định và B,C thay đổi trên đường thẳng d cố định sao cho: nếu gọi A' là hình chiếu của A lên d thì \(\overline{A'B}.\overline{A'C}< 0\) và không đổi. Gọi M là hình chiếu của A' trên AB, N là hình chiếu của A' trên AC. K là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác A'MN tại M,N. Cmr: K luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Theo t/c đường tròn, do M là trung điểm BC \(\Rightarrow OM\perp BC\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=\sqrt{R^2-\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2}=3\)
\(\Rightarrow\) Quỹ tích M là đường tròn tâm \(\left(O;3\right)\)
Mặt khác do G là trọng tâm tam giác ABC
\(\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)
\(\Rightarrow\) G là ảnh của M qua phép vị tự tâm A tỉ số \(k=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow\) Quỹ tích G là ảnh của \(\left(O;3\right)\) qua phép vị tự tâm A tỉ số \(k=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow\) Quỹ tích G là đường tròn bán kính \(\dfrac{2}{3}.3=2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi h (AH) là đường cao của \(\Delta ABC\) thì h là hằng số không đổi và cạnh đáy BC bằng a cố định .
Ta có : \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}BC.AH=\dfrac{1}{2}a.h\) không đổi .
Vậy diện tích tam giác ABC luôn không đồi nếu có đáy BC cố định và đỉnh A di động trên 1 đường thẳng d cố định song song với đường thẳng BC .
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đường thẳng d cố định song song với đường thẳng BC cố định nên khoảng cách hai đường thẳng d và BC là không đổi.
Tam giác ABC có cạnh đáy BC không đổi, chiều cao AH là khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song không đổi.
Vậy điểm A thay đổi trên đường thẳng d // AB thì diện tích tam giác ABC không đổi.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hình nếu chị không vẽ được thì hỏi em nhé chị !
Gọi I là trung điểm của BC => I cố định ( vì B,C cố định )
Ta có : AG = 2.OI ( theo bổ đề 7 )
Lại có AM = AH nên AM = 2.OI ( 1 )
Trên tia IO lấy điểm K sao cho OK = 2. OI ( 2 )
=> K cố định ( vì O,I cố định )
Từ ( 1 ) ( 2 ) => AM = KO mà AM// KO
( vì cùng vuông góc với BC ) .
Do đó AMKO là hình bình hành nên KM = OA = R : không đổi
Vậy khi A thay đổi trên cung lớn BC thì điểm M đi động trên đường tròn cố định ( K ; R ) => đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi h là đường cao của tam giác ABC thì h là hằng số không đổi và cạnh đấy BC = a cố định.
Ta có \(S_{ABC}=\frac{1}{2}.BC.AH=\frac{1}{2}ah\) không đổi.
Vậy có đpcm