cho x,y,z>0 và xyz=1. chứng minh rằng \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge1+x+y+z\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 10 2016
Vì xyz = 1 nên ta có thể đặt \(x=\frac{a^2}{bc};y=\frac{b^2}{ac};z=\frac{c^2}{ab}\left(a,b,c>0,a^2\ne bc,b^2\ne ac,c^2\ne ab\right)\)
Khi đó bất đẳng thức tương đương với
\(\frac{a^4}{\left(a^2-bc\right)^2}+\frac{b^4}{\left(b^2-ac\right)^2}+\frac{c^4}{\left(c^2-ab\right)^2}\ge1\)
Mà ta có
\(\frac{a^4}{\left(a^2-bc\right)^2}+\frac{b^4}{\left(b^2-ac\right)^2}+\frac{c^4}{\left(c^2-ab\right)^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ab\right)^2+\left(c^2-ab\right)^2}\)
Ta cần chứng minh
\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ab\right)^2+\left(c^2-ab\right)^2}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ab\right)^2+\left(c^2-ab\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 1 2022
\(\sqrt{x\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+1\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+x+y+z+2\sqrt{xyz}\right)}\)
\(=\sqrt{x\left(yz+x+2\sqrt{xyz}\right)}=\sqrt{x^2+2x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(x+\sqrt{xyz}\right)^2}\)
\(=x+\sqrt{xyz}\)
Tương tự: \(\sqrt{y\left(1-x\right)\left(1-z\right)}=y+\sqrt{xyz}\) ; \(\sqrt{z\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=z+\sqrt{xyz}\)
\(\Rightarrow VT=x+y+z+3\sqrt{xyz}=1-2\sqrt{xyz}+3\sqrt{xyz}=1+\sqrt{xyz}\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 3 2021
Ta có:
\(VT=2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Ta có:
\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{y}+1\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}\)
Tương tự ...
Cộng lại ta có:
\(2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+6\ge3\left(\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\ge\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{\dfrac{x}{y}}-\sqrt[3]{\dfrac{x}{z}}\right)^2+\left(\sqrt[3]{\dfrac{y}{x}}-\sqrt[3]{\dfrac{y}{z}}\right)^2+\left(\sqrt[3]{\dfrac{z}{x}}-\sqrt[3]{\dfrac{z}{y}}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
14 tháng 8 2019
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Tôi Là Ai - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
21 tháng 10 2016
Do xyz = 1, ta có thể đặt \(a=\frac{x}{x-1},\)\(b=\frac{y}{y-1},\)\(c=\frac{z}{z-1}\)
Ta có \(abc=\frac{x}{x-1}.\frac{y}{y-1}.\frac{z}{z-1}=\frac{xyz}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}\) (1)
Mặt khác \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=\left(\frac{x}{x-1}-1\right).\left(\frac{y}{y-1}-1\right).\left(\frac{z}{z-1}-1\right)\)
\(=\frac{x-x+1}{x-1}.\frac{y-y+1}{y-1}.\frac{z-z+1}{z-1}=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}\)(2)
So sánh (1) và (2) ta có \(abc=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(abc=abc-ab-bc-ca+a+b+c-1\)\(\Leftrightarrow\)\(ab+bc+ca-a-b-c+1=0\) (3)
Mà với mọi a, b, c ta luôn có \(\left(a+b+c-1\right)^2\ge0\)
Hay \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca-a-b-c+1\right)-1\ge0\) (4)
Thay (3) vào (4) ta được \(a^2+b^2+c^2\ge1\) hay \(\frac{x^2}{\left(x-1\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y-1\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z-1\right)^2}\ge1\)
26 tháng 7 2017
pt cái (x+y)(y+z)(z+x)=\(2xyz+z^2\left(x+y\right)+x^2\left(y+z\right)+y^2\left(x+z\right)\)
xét hiệu \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)-2\left(1+x+y+z\right)=2xyz+z^2\left(x+y\right)+y^2\left(x+z\right)+x^2\left(y+z\right)-2xyz-\left(x+y\right)-\left(y+z\right)-\left(x+y\right)\)\(z^2\left(x+y\right)\ge\left(x+y\right)\)(vì x;y;z>0)
tương tự
=> đpcm
Lời giải:
Sửa đề: \((x+y)(y+z)(x+z)\geq 2(1+x+y+z)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=9xyz\)
\(\Leftrightarrow xyz\leq \frac{(x+y+z)(xy+yz+xz)}{9}\)
Ta thực hiện biến đổi:
\((x+y)(y+z)(z+x)=xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+2xyz\)
\(=(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz\geq (x+y+z)(xy+yz+xz)-\frac{(x+y+z)(xy+yz+xz)}{9}\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz)\)
Theo hệ quả của BĐT AM-GM:
\((xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)=3(x+y+z)\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz\geq \sqrt{3(x+y+z)}\)
\(\Rightarrow (x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)\sqrt{3(x+y+z)}\)
Ta sẽ cm \(\frac{8}{9}(x+y+z)\sqrt{3(x+y+z)}\geq 2(1+x+y+z)\)
Đặt \(\sqrt{3(x+y+z)}=t\). Dễ thấy \(x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3\Rightarrow t\geq 3\)
Ta cần cm \(\frac{8}{9}.\frac{t^2}{3}.t\geq 2(1+\frac{t^2}{3})\Leftrightarrow 8t^3\geq 18(3+t^2)\)
\(\Leftrightarrow (t-3)(8t^2+6t+18)\geq 0\) (luôn đúng với \(t\geq 3\))
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$