Question

[Alice In Wonder Land]

Bài 1:

\(\left(a+b+c\right)^{3^{ }}-4\left(a^3+b^3+c^3\right)-12abc\) bằng cách đổi biến: đặt a+b = m, a-b = n

Bài 2:

Chứng minh số \(A=\left(n+1\right)^4+n^4+1\) chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số n nguyên dương.

Bài 3:

Tìm các số nguyên a,b,c sao cho khi phân tích đa thức \(\left(x+a\right)\left(x-4\right)-7\) thành nhân tử ta được \(\left(x+b\right)\left(x+c\right)\)

Bài 4:

Tìm các số hữu tỉ a,b,c sao chi khi phân tích đa thức \(x^3+ax^{2^{ }}+bx+c\) thành nhân tử ta được \(\left(x+a\right)\left(x+b\right)\left(x+c\right)\)

giúp mình với

Toshiro Kiyoshi , Nguyễn Huy Tú, Nguyễn Huy Thắng, Trần Hoàng Nghĩa, Mai Hà Chi, Nguyễn Thanh Hằng

Answer 1

[Nhã Dương]

Mình giúp bạn được chứ?

\(A=\left(a+b+c\right)^3-4\left(a^3+b^3+c^3\right)-12abc\). Đặt \(a+b=m,a-b=n\) thì \(4ab=m^{2^{ }}-n^2\), \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left[\left(a-b\right)^2+ab\right]=m\left(n^2+\dfrac{m^2-n^2}{4}\right)\)

Ta có:

\(A=\left(m+c\right)^3-4.\dfrac{m^3+3mn^2}{4}-4c^3-3c\left(m^2-n^2\right)\)

=\(3\left(-c^3+mc^2-mn^2+cn^2\right)\)

Biến đổi dấu ngoặc thành \(\left(m-c\right)\left(c+n\right)\left(c-n\right)\)

Vậy \(A=3\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)\left(c-a+b\right)\)

mình làm bài 1 nhé, mấy bài kia mình ăn cơm xong mình làm cho.

Answer 2

[Nhã Dương]

Bài 2:

\(A=\left(n+1\right)^4+n^4+1=\left(n^2+2n+1\right)^2-n^2+\left(n^4+n^2+1\right)\)

\(=\left(n^2+3n+1\right)\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\left(n^2-n+1\right)\)

\(=\left(n^2+n+1\right)\left(2n^2+2n+2\right)=2\left(n^2+n+1\right)^2\)

Vậy.......................

Bài 3:

Với mọi \(x\) ta có:

\(\left(x+a\right)\left(x-4\right)-7=\left(x+b\right)\left(x+c\right)\) nên với \(x=4\) thì \(-7=\left(4+b\right)\left(4+c\right)\)

Xét 2 trường hợp: \(4+b=1,4+c=-7\) và \(4+b=7,4+c=-1\)

TH1:

cho \(b=-3,c=-11,a=-10\), ta có:

\(\left(x-10\right)\left(x-4\right)-7=\left(x-3\right)\left(x-11\right)\)

TH2:

cho \(b=3,c=-5,a=2\), ta có:

\(\left(x+2\right)\left(x-4\right)-7=\left(x+3\right)\left(x-5\right)\)

Bài 4:

Nhân \(\left(x+a\right)\left(x+b\right)\left(x+c\right),được\)\(x^3+\left(a+b+c\right)x^2+\left(ab+bc+ca\right)x+abc\)

\(\Rightarrow\) \(b+c=0\left(1\right),ab+bc+ca=b\left(2\right),abc=c\left(3\right)\)

Từ (1) ta có: \(c=-b\). Thay vào \(\left(2\right)\), được \(ab-b^2-ab=b\Leftrightarrow b^2+b=0\Leftrightarrow b\left(b+1\right)=0\Leftrightarrow b=0,b=-1\)

Nếu \(b=0\) thì từ (1) có \(c=0\), còn \(\left(2\right)và\left(3\right)\)luôn đúng nên \(a\)tùy ý.

Nếu \(b=-1\) thì (1) có \(c=1\), từ (3) có \(a=-1\)

Tóm lại, ta có: \(x^3+ax^2=x^2\left(x+a\right)\) hoặc \(x^3-x^2-x+1=\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)\)

Học tốt nhé bạn :)