Chứng minh: n6 + n4 - 2n2 chia hết cho 72
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt A = n^6 + n^4 – 2n^2 = n^2 (n^4 + n^2 – 2)
= n^2 (n^4 – 1 + n^2 – 1)
= n^2 [(n^2 – 1)(n^2 + 1) + n^2 – 1]
= n^2 (n^2 – 1)(n^2 + 2)
= n.n.(n – 1)(n + 1)(n^2 + 2)
+ Nếu n chẳn ta có n = 2k (k thuộc N)
A = 4k^2 (2k – 1)(2k + 1)(4k^2 + 2) = 8k^2 (2k – 1)(2k + 1)(2k^2 + 1)
Suy ra A chia hết cho 8
+ Nếu n lẻ ta có n = 2k + 1 (k thuộc N)
A = (2k + 1)^2 . 2k (2k + 2)(4k^2 + 4k + 1 + 2)
= 4k(k + 1)(2k + 1)^2 (4k^2 + 4k + 3)
k(k + 1) chia hết cho 2 vì là tích hai số liên tiếp
Suy ra A chia hết cho 8
Do đó A chia hết cho 8 với mọi n thuộc N
* Nếu n chia hết cho 3 thì A chia hết cho 9. Nên A chia hết cho 72.
* Nếu n không chia hết cho 3 thì n^2 là số chính phương nên chia 3 dư 1 (vì số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1).
Suy ra n^2 + 2 chia hết cho 3. Mà n (n – 1)(n + 1) là tích 3 số liên tiếp nên có số chia hết cho 3. Suy ra A chia hết cho 9. Do đó A chia hết cho 72.
Vậy A chia hết cho 72 với mọi n thuộc N.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt A = n^6 + n^4 – 2n^2 = n^2 (n^4 + n^2 – 2)
= n^2 (n^4 – 1 + n^2 – 1)
= n^2 [(n^2 – 1)(n^2 + 1) + n^2 – 1]
= n^2 (n^2 – 1)(n^2 + 2)
= n.n.(n – 1)(n + 1)(n^2 + 2)
+ Nếu n chẳn ta có n = 2k (k thuộc N)
A = 4k^2 (2k – 1)(2k + 1)(4k^2 + 2) = 8k^2 (2k – 1)(2k + 1)(2k^2 + 1)
Suy ra A chia hết cho 8
+ Nếu n lẻ ta có n = 2k + 1 (k thuộc N)
A = (2k + 1)^2 . 2k (2k + 2)(4k^2 + 4k + 1 + 2)
= 4k(k + 1)(2k + 1)^2 (4k^2 + 4k + 3)
k(k + 1) chia hết cho 2 vì là tích hai số liên tiếp
Suy ra A chia hết cho 8
Do đó A chia hết cho 8 với mọi n thuộc N
* Nếu n chia hết cho 3 thì A chia hết cho 9. Nên A chia hết cho 72.
* Nếu n không chia hết cho 3 thì n^2 là số chính phương nên chia 3 dư 1 (vì số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1).
Suy ra n^2 + 2 chia hết cho 3. Mà n (n – 1)(n + 1) là tích 3 số liên tiếp nên có số chia hết cho 3. Suy ra A chia hết cho 9. Do đó A chia hết cho 72.
Vậy A chia hết cho 72 với mọi n thuộc N.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hoàng Việt Bách yêu cầu bn làm 1 câu hỏi khác theo yêu cầu mk ns trog phần tin nhắn nha !!! ! check tin nhắn bn ey !
Đặt A = \(n^6+n^4-2n^2=n^2\left(n^4++n^2-2\right)\)
=\(n^2\left(n^4-1+n^2-1\right)\)
=\(n^2\left[\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)+n^2-1\right]\)
=\(n^2\left(n^2-1\right)\left(n^2+2\right)\)
+ Nếu n chẳn ta có n = 2k (k thuộc N)
A=\(4k^2\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)\left(4k^2+2\right)=8k^2\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)\left(2k^2+1\right)\)
Suy ra A chia hết cho 8
+ Nếu n lẻ ta có n = 2k + 1 (k thuộc N)
A=\(\left(2k+1\right)^2.2k\left(2k+2\right)\left(4k^2+4k+1+2\right)\)
=\(4k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)^2\left(4k^2+4k+3\right)\)
k(k + 1) chia hết cho 2 vì là tích hai số liên tiếp
Suy ra A chia hết cho 8
Do đó A chia hết cho 8 với mọi n thuộc N
* Nếu n chia hết cho 3 thì A chia hết cho 9. Nên A chia hết cho 72.
* Nếu n không chia hết cho 3 thì \(n^2\) là số chính phương nên chia 3 dư 1 (vì số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1).
Suy ra:\(n^2+2\) chia hết cho 3. Mà n (n – 1)(n + 1) là tích 3 số liên tiếp nên có số chia hết cho 3. Suy ra A chia hết cho 9. Do đó A chia hết cho 72.
Vậy A chia hết cho 72 với mọi n thuộc N.
Lời giải:
Đặt \(A=n^6+n^4-2n^2\)
\(\Leftrightarrow A=n^2(n^2-1)(n^2+2)\)
Ta chứng minh \(A\vdots 9\)
\(\bullet\) Nếu \(n\equiv 0\pmod 3\Leftrightarrow n\vdots 3\Rightarrow n^2\vdots 9\Rightarrow A\vdots 9\)
\(\bullet\) Nếu \(n\equiv \pm 1\pmod 3\Rightarrow n^2\equiv 1\pmod 3\)
Do đó, \(\left\{\begin{matrix} n^2-1\equiv 0\pmod 3\\ n^2+2\equiv 0\pmod 3\end{matrix}\right.\Rightarrow (n^2-1)(n^2+1)\vdots 9\Rightarrow A\vdots 9\)
Từ hai TH trên suy ra \(A\vdots 9(1)\)
Ta chứng minh \(A\vdots 8\)
Viết lại: \(A=n^2(n-1)(n+1)(n^2+2)\)
\(\bullet n=4k\Rightarrow n\vdots 4\rightarrow n^2\vdots 8\Rightarrow A\vdots 8\)
\(\bullet n=4k+1\Rightarrow n-1=4k\vdots 4\) và \(n+1=4k+2\vdots 2\Rightarrow A\vdots 8\)
\(\bullet n=4k+2\Rightarrow n\vdots 2\rightarrow n^2\vdots 4\) và \(n^2+2\vdots 2\Rightarrow A\vdots 8\)
\(\bullet n=4k+3\Rightarrow n-1=4k+2\vdots 2\) và \(n+1=4k+4\vdots 4\Rightarrow A\vdots 8\)
Từ các TH trên suy ra \(A\vdots 8(2)\)
Từ \((1),(2)\) mà $8,9$ nguyên tố cùng nhau nên \(A\vdots 72\) (đpcm)