Bài 2: cho a,b,c = 0. Cm : a^3+a^2.c- abc + b^2.c + b^3 =0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TA
1
G
10 tháng 8 2023
\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
Chứng minh: \(VP=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=x^3-x^2y+xy^2+x^2y-xy^2+y^3=x^3+y^3=VP\)
Áp dụng vào bài
--------------------------------------------------
Ta có \(a+b+c=0\Leftrightarrow-c=a+b\)
\(\Rightarrow c^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^2+2ab+b^2\)
Xét \(a^3+b^3+a^2c+b^2c-abc\)
\(=a^3+b^3+c\left(a^2+b^2+2ab\right)-3abc\)
\(=a^3+b^3+c.c^2-3abc\)
\(=a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2+c^3-3abc\)
\(=a^2\left(a+b\right)+2ab\left(a+b\right)+b^2\left(a+b\right)+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)+c^3\) ( do a+b+c=0 )
\(=\left(a+b\right)\left[a\left(a+b\right)+b\left(a+b\right)\right]+c^3\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)+c^3=\left(a+b\right)^3+c^3\)
( Áp dụng \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\) )
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]=0\) ( do a+b+c=0 )
Vậy \(a^3+b^3+a^2c+b^2c-abc=0\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 2 2017
Bài 1
Đặt \(A=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)\)
Biến đổi:
\(A=a^3+b^3+c^3-3[abc-(ab+bc+ac)+a+b+c-1]=a^3+b^3+c^3-3abc+3(ab+bc+ac)-6\)
\(A=(a+b+c)^3-3[(a+b)(b+c)(c+a)+abc]-6+3(ab+bc+ac)\)
\(A=21-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3(ab+bc+ac)=21-6(ab+bc+ac)\)
Áp dụng BĐT Am-Gm:
\(3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2=9\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3\)
\(\Rightarrow A\geq 21-6.3=3\). Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Vì \(0\leq a,b,c\leq2\Rightarrow (a-2)(b-2)(c-2)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ac)+4\leq 0\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4+abc\geq 0\Rightarrow ab+bc+ac\geq 2\)
\(\Rightarrow A\leq 21-6.2=9\). Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và các hoán vị.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 2 2017
Bài 2a)
Ta có
\(A=a^2+b^2+c^2=(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2-3-2(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow A=(a+b+c+3)^2-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]-3\)
\(\Leftrightarrow A=6-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]\)
Vì \(-1\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow a+1,b+1,c+1\geq 0\)
\(\Rightarrow (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)\geq 0\Rightarrow A\leq 6\)
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(-1,-1,2)\) và các hoán vị của nó
LN
1
S
26 tháng 5 2017
2) \(VT=\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\right)+3\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
Xét \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\) (1)
Xét \(3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{9}{2}+\frac{3}{2}=6\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
KB
4 tháng 12 2017
Vì a+b+c=0\(\Rightarrow c=-\left(a+b\right)\)
Ta có:\(a^3+b^3+c\left(a^2+b^2\right)=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=\left(a+b\right).\left(-ab\right)=\left(-c\right).\left(-ab\right)=abc\)
\(\Rightarrowđpcm\)
\(a^3+a^2c-abc+b^2c+b^3=0\)
\(=a^2.\left(a+b+c\right)-a^2b-abc+b^2c+b^3\)
\(=a^2.\left(a+b+c\right)+b^2.\left(a+b+c\right)-ab^2-abc-a^2b\)
\(=a^2.\left(a+b+c\right)+b^2.\left(a+b+c\right)-ab.\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right).\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(=0\) ( Đpcm )