Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng M=\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\) không phải là số nguyên
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(A=\dfrac{a}{a+b+c-c}+\dfrac{b}{a+b+c-a}+\dfrac{c}{a+b+c-b}\\ A=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\\ \Rightarrow A>\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}=1\left(1\right)\\ A< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{b+a}{a+b+c}+\dfrac{c+b}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow1< A< B\\ \Rightarrow A\notin Z\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Với $a,b,c>0$ ta có:
$M> \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}=\frac{a+b+c}{a+b+c}{a+b+c}=1(*)$
Mặt khác:
Xét hiệu: $\frac{a}{a+b}-\frac{a+c}{a+b+c}=\frac{-bc}{(a+b)(a+b+c)}<0$ với mọi $a,b,c>0$
$\Rightarrow \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}$
Tương tự ta cũng có: $\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}; \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}$
Cộng lại ta được: $M< \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow 1< M< 2$ nên $M$ không là số nguyên.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a+b−cc=b+c−aa=c+a−bb
⇒a+b−cc+1=b+c−aa+1=c+a−bb+1
⇒a+bc=b+ca=c+ab
+)Nếu a+b+c=0⇒a+b=−c;b+c=−a;c+a=−b
⇒B=a+ba.c+ac.b+cb=−ca.−bc.−ab=−(abc)abc=−1
Nếu a+b+c≠0
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
a+bc=b+ca=c+ab=2(a+b+c)a+b+c=2
⇒a+b=2c
b+c=2a
c+a=2b
⇒B=2ca.2bc.2ab=2.2.2=8
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b+c}{b+c+a}=1\)
Khi đó:
\(\dfrac{a}{b}=1\Rightarrow a=b\left(1\right)\)
\(\dfrac{b}{c}=1\Rightarrow b=c\left(2\right)\)
\(\dfrac{c}{a}=1\Rightarrow c=a\left(3\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow a=b=c\)
Ta có M=\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\)
Vì vai trò a,b,c là như nhau nên ta giả sử 0<a<b<a
Khi đó :\(\dfrac{a}{a+b}>\dfrac{a}{a+b+c};\dfrac{b}{b+c}>\dfrac{b}{a+b+c};\dfrac{c}{c+a}>\dfrac{c}{a+b+c}\)
=>M=\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}>\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\left(1\right)\)
Lại có \(\dfrac{a}{a+b}< \dfrac{a+c}{a+b+c};\dfrac{b}{b+c}< \dfrac{a+b}{a+b+c};\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng các bđt trên theo vế ta có:
M=\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{b+c}{a+b+c}+\dfrac{c+a}{a+b+c}+\dfrac{a+b}{a+b+c}\)
=>M=\(\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
=>1<M<2
=>M không phải là số nguyên (đpcm)
Chúc Bạn Học Tốt