Question

[Ngọc Hân Đỗ]

Nếu a+b+c chia hết cho 6 thì \(a^3+b^3+c^3\) chia hết cho 6

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có \(a+b+c\) chia hết cho $6$

\(\Leftrightarrow (a+b+c)^3\vdots 6\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\vdots 6\) \((1)\)

Theo định lý Dirichlet, trong ba số \(a,b,c\) luôn tồn tại ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho $2$, không mất tính tổng quát giả sử là hai số đó là \(a\equiv b\equiv r\pmod 2\)

\(\Rightarrow a+b\equiv 2r\equiv 0\pmod 2\)

Do đó \((a+b)(b+c)(c+a)\vdots 2\forall a,b,c\in\mathbb{N}\Rightarrow 3(a+b)(b+c)(c+a)\vdots 6\)

Kết hợp với $(1)$ suy ra \(a+b+c\vdots 6\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\vdots 6\)

Ta có đpcm

Answer 2

[Khanh Tay Mon]

Ta có $a+b+c$ chia hết cho $6$

$\iff (a+b+c{)}^3⋮6\iff a^3+b^3+c^3+3(a+b\left)\right(b+c\left)\right(c+a)⋮6$ $\left(1\right)$

Theo định lý Dirichlet, trong ba số $a,b,c$ luôn tồn tại ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho $2$, không mất tính tổng quát giả sử là hai số đó là $a\equiv b\equiv r\left(\mathrm{mod}2\right)$

$\Rightarrow a+b\equiv 2r\equiv 0\left(\mathrm{mod}2\right)$

Do đó $(a+b)(b+c)(c+a)⋮2\forall a,b,c\in N\Rightarrow 3(a+b)(b+c)(c+a)⋮6$

Kết hợp với $\left(1\right)$ suy ra $a+b+c⋮6\iff a^3+b^3+c^3⋮6$

Ta có đpcm.Chuc ban thi tot