Cho ΔABC vuống tại A, đường cao AH. Cho \(\dfrac{AB}{AC}\)=\(\dfrac{1}{4}\) và AH 2√37x. Tính BC, BH, CH?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
c) \(\widehat{BDE}=90^0-\widehat{CDE}=\widehat{BCE}\)
\(\Rightarrow\)△BDE∼△DCE (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{BE}{DE}=\dfrac{DE}{CE}\Rightarrow BE.CE=DE^2\left(1\right)\)
-△AHC có: AH//DE (cùng vuông góc BC) \(\Rightarrow\dfrac{DE}{AH}=\dfrac{CE}{CH}\Rightarrow DE=\dfrac{CE.AH}{CH}\Rightarrow DE^2=\dfrac{AH^2.CE^2}{CH^2}\left(2\right)\)
-Từ (1) và (2) ta có điều cần phải c/m.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, Ta có : \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}=>\dfrac{3}{4}AC=AB\)
AB + AC = 21
3/4 AC + AC = 21
7/4 AC = 21
AC = 12 ( cm )
AB = 21 - 12 = 9 ( cm )
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác , ta có :
BC ^ 2 = AB ^ 2 + AC ^ 2 = 12^2 + 9^2 = 225
-> BC = 15 ( cm )
b, Áp dụng hệ thức lượng :
AH . BC = AB . AC
-> AH = AB.AC / BC = \(\dfrac{9.12}{15}=7,2\left(cm\right)\)
AB^2 = BH . BC
-> BH = AB^2 / BC = \(\dfrac{81}{15}=5,4\left(cm\right)\)
AC^2 = HC . BC
-> HC = AC^2 / BC = \(\dfrac{144}{15}=9,6\left(cm\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét ΔAHB vuông tại H có \(tanB=\dfrac{AH}{HB}\)
=>\(\dfrac{2.4}{HB}=\dfrac{3}{4}\)
=>\(HB=2.4\cdot\dfrac{4}{3}=3,2\left(cm\right)\)
ΔABH vuông tại H
=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)
=>\(AB^2=3,2^2+2,4^2=16\)
=>\(AB=\sqrt{16}=4\left(cm\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AB^2=BH\cdot BC\)
=>\(BC=\dfrac{4^2}{3,2}=5\left(cm\right)\)
ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AC^2=5^2-4^2=9\)
=>\(AC=\sqrt{9}=3\left(cm\right)\)
Chu vi tam giác ABC là:
3+4+5=12(cm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(AB^2+AC^2=BC^2\)
\(\Leftrightarrow AB^2=10^2-8^2=36\)
hay AB=6(cm)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\\AB\cdot AC=AH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{36}{10}=3.6\left(cm\right)\\CH=\dfrac{64}{10}=6.4\left(cm\right)\\AH=\dfrac{6\cdot8}{10}=4.8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Ta có: \(\angle HEA=\angle HFA=\angle EAF=90\Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật
\(\Delta AHB\) vuông tại H có HE là đường cao \(\Rightarrow AE.AB=AH^2\)
\(\Delta AHC\) vuông tại H có HF là đường cao \(\Rightarrow AF.AC=AH^2\)
\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)
b) \(\Delta ABC\) vuông tại A có đường cao AH \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH.BC\\AC^2=CH.BC\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow AB^2-AC^2=BH.BC-CH.BC=BC\left(BH-CH\right)\)
\(=\left(BH+CH\right)\left(BH-CH\right)=BH^2-CH^2\)
c) Ta có: \(\dfrac{1}{HF^2}-\dfrac{1}{CH^2}=\dfrac{1}{AF.FC}-\dfrac{1}{CA.CF}=\dfrac{1}{CF}\left(\dfrac{1}{AF}-\dfrac{1}{CA}\right)\)
\(=\dfrac{1}{CF}.\dfrac{CF}{AF.AC}=\dfrac{1}{AH^2}\)
Lại có: \(\dfrac{1}{HE^2}-\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{BE.EA}-\dfrac{1}{BE.BA}=\dfrac{1}{BE}\left(\dfrac{1}{EA}-\dfrac{1}{BA}\right)\)
\(=\dfrac{1}{BE}.\dfrac{BE}{EA.BA}=\dfrac{1}{AH^2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{HF^2}-\dfrac{1}{CH^2}=\dfrac{1}{HE^2}-\dfrac{1}{BH^2}\Rightarrow\dfrac{1}{BH^2}-\dfrac{1}{CH^2}=\dfrac{1}{HE^2}-\dfrac{1}{HF^2}\)
d) Ta có: \(AH^4=\left(AH^2\right)^2=\left(BH.CH\right)^2=BH^2.CH^2\)
\(=BE.BA.CF.CA=BE.CF.\left(AB.AC\right)=BE.CF.AH.BC\)
\(\Rightarrow BC.BE.CF=AH^3\)
e) Ta có: \(AE.BE+AF.CF=EH^2+HF^2=EF^2=AH^2=BH.CH\)
f) Ta có: \(3AH^2+BE^2+CF^2=3AH^2+BH^2-EH^2+CH^2-HF^2\)
\(=3AH^2+BH^2+CH^2-\left(EH^2+HF^2\right)\)
\(=3AH^2+BH^2+CH^2-EF^2=3AH^2+BH^2+CH^2-AH^2\)
\(=BH^2+CH^2+2AH^2=BH^2+CH^2+2BH.CH\)
\(=\left(BH+CH\right)^2=BC^2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dung hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC :
\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{AB^2+AC^2}{AB^2\cdot AC^2}\)
\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{\sqrt{AB^2+AC^2}}{AB\cdot AC}\)
\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{\sqrt{AB^2+\left(\dfrac{4AB}{3}\right)^2}}{AB\cdot\dfrac{4AB}{3}}=\dfrac{5AB}{4}\)
\(\Rightarrow AB=\dfrac{4\cdot\dfrac{12}{5a}}{5}=\dfrac{48}{25}a\)
\(BC=\dfrac{AB\cdot AC}{AH}=\dfrac{AB\cdot\dfrac{4}{3}AB}{\dfrac{5}{4}\cdot AB}=\dfrac{16}{15}AB=\dfrac{16}{15}\cdot\dfrac{48}{25}\cdot a=2.048a\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài 2:
Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{6}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{25}{36}\)
\(\Leftrightarrow HB=\dfrac{25}{36}HC\)
Ta có: HB+HC=BC
\(\Leftrightarrow HC\cdot\dfrac{61}{36}=122\)
\(\Leftrightarrow HC=72\left(cm\right)\)
hay HB=50(cm)
Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{16}\)
hay HC=16HB
Ta có: \(AH^2=HB\cdot HC\)
\(\Leftrightarrow16HB^2=148\)
\(\Leftrightarrow HB=\dfrac{\sqrt{37}}{2}\)
\(\Leftrightarrow HC=8\sqrt{37}\)
\(\Leftrightarrow BC=\dfrac{17\sqrt{37}}{2}\left(cm\right)\)
Cho em hỏi làm sao để có \(\dfrac{HB}{HC}\)=\(\dfrac{1}{16}\)ạ