Question

[Cold Wind]

(bất đẳng thức nesbitt). Chứng minh với mọi số thực không âm a,b,c ta có:

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\)

Lời giải:

xét các biểu thức sau:

\(S=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)

\(M=\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{a}{a+b}\)

\(N=\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{a+b}\)

ta có M+N=3 . (****)mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM thì:

\(M+S=\dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{c+a}+\dfrac{c+a}{a+b}\ge3\)

\(M+S=\dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{a+b}{c+a}+\dfrac{b+c}{a+b}\ge3\) (*****)

vậy M+N+2S \(\ge\) 6 suy ra 2S \(\ge\) 3 (đpcm)

chỗ đánh dấu (****) (*****) đó Ace, làm sao ra được??

@Ace Legona

Answer 1

[Lightning Farron]

sao phải làm khó nó lên thế Thảo luận | Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân | Học trực tuyến kéo xuống tui làm r` đó

Answer 2

[Eren]

(****):

M + N = \(\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}\right)+\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{a}{c+a}\right)+\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}\right)=\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}+\dfrac{a+b}{a+b}=3\)

(*****):

M + S = \(\dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{c+a}+\dfrac{c+a}{a+b}\ge3.\sqrt[3]{\dfrac{a+b}{b+c}.\dfrac{b+c}{c+a}.\dfrac{c+a}{a+b}=3}\)(Cô-si cho 3 số)

N + S = \(\dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{a+b}{c+a}+\dfrac{b+c}{a+b}\ge3.\sqrt[3]{\dfrac{a+c}{b+c}.\dfrac{a+b}{c+a}.\dfrac{b+c}{a+b}}=3\)(Cô-si cho 3 số)

Bảo giải thích thì cứ giải thích đi Thắng, tùy cách hiểu mỗi người mà chọn cách nào chứ không bắt buộc phải heo cách của ông @Ace Legona