Question

[Võ Huỳnh Minh Chương]

1/ Cho 2 số a,b thõa: a+b=2. CMR: a²+b² \(\ge\) 2

2/ Cho 3 số a,b,c thõa: ab+bc+ca= 12. Tìm GTLN của P= a²+b²+c²

3 Cho 2 số dương a,b thỏa a+b \(\le\)2. Tìm GTNN của P= \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)

4/ Cho 3 số dương a,b,c thõa a+b+c =3 . CMR: A=\(\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ca}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge1\)

Answer 1

[Nguyễn Huy Tú]

Bài 4:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-shwarz dạng engel ta có:

\(\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ca}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)

\(=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{9}{9}=1\)

Dấu " = " xảy ra khi a = b = c = 1

\(\Rightarrowđpcm\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 1:
Ta có:
\(a^2+b^2-\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{2(a^2+b^2)-(a+b)^2}{2}=\frac{(a-b)^2}{2}\geq 0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)

(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$