Cho Parabol (P): y=x^2 .Trên (P)lấy hai điểm A_1,A_2 lên sao cho góc (A_1 OA_2 ) ̂=90 độ (O là góc tọa độ).Hình chiếu vuông góc của A_1,A_2 lên trục hoành là B_1,B_2.Chứng minh rằng OB_1.OB_2=1
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Các giao điểm của (E) với trục hoành có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \pm a\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{A_1}\left( { - a;0} \right)\\{A_2}\left( {a;0} \right)\end{array} \right.\)
Các giao điểm của (E) với trục tung có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = \pm b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{B_1}\left( {0; - b} \right)\\{B_2}\left( {0;b} \right)\end{array} \right.\)
Ta có \({A_1}{A_2} = 2a,{B_1}{B_2} = 2b\).
b) Do M thuộc (E) nên ta có \(\frac{{x_o^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} = 1\)
Do \(a > b > 0\) nên ta có \(\frac{{x_o^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{x_o^2}}{{{b^2}}}\). Suy ra \(1 \le \frac{{x_o^2}}{{{b^2}}} + \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} \Rightarrow {b^2} \le x_o^2 + y_o^2\)
Tương tự ta có \(\frac{{y_o^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}}\) nên \(1 \ge \frac{{y_o^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} \Rightarrow {a^2} \ge x_o^2 + y_o^2\)
Vậy \({b^2} \le x_o^2 + y_o^2 \le {a^2}\)
Ta có \(OM = \sqrt {x_o^2 + y_o^2} \) suy ra \(b \le OM \le a\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
+) Từ phương trình \({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) ta xác định được tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) là \(\left( {{a_1};{b_1}} \right)\)
+) Từ phương trình \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) ta xác định được tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {{n_2}} \) là \(\left( {{a_2};{b_2}} \right)\)
+) \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Các giao điểm của \(\left( H \right)\) với trục hoành có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm a\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{A_1}\left( { - a;0} \right)\\{A_2}\left( {a;0} \right)\end{array} \right.\)
b) Với \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc (H) ta có \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = 1 + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \ge 1 \Rightarrow {x^2} \ge {a^2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - a\\x \ge a\end{array} \right.\)
Do đó nếu \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc bên trái trục tung khi thì \(x < 0\), suy ra \(x \le - a\).
Nếu \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc bên phải trục tung khi thì \(x > 0\), suy ra \(x \ge - a\).
c) Gọi \({M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right),{M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)\). Vì \({M_1}\) thuộc nhánh bên trái trục tung nên ta có \({x_1} \le - a\),\({M_2}\) thuộc nhánh bên phải trục tung nên ta có \({x_2} \ge a\).
Suy ra \({M_1}{M_2} = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \ge \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}+(0- 0)^2} = \left| {{x_2} - {x_1}} \right| \ge \left| {a - \left( { - a} \right)} \right| = 2a\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{y_2} - {y_1} = 0\\{x_2} = a\\{x_1} = - a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = a\\{x_1} = - a\\{y_1} = {y_2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{M_1}\left( { - a;0} \right)\\{M_2}\left( {a;0} \right)\end{array} \right.\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
mày bị điên đứa nào thích thì mà đứa nào chơi truy kích cho tao nick
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Theo vi ét:
\(\hept{\begin{cases}a_1a_2=1\\a_1+a_2=-p\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}b_1b_2=1\\b_1+b_2=-q\end{cases}}\)
Ta có: \(\left(a_1-b_1\right)\left(a_2-b_1\right)\left(a_1+b_2\right)\left(a_2+b_2\right)\)
\(=\left(a_1a_2+b_1^2-a_1b_1-a_2b_1\right)\left(a_1a_2+a_2b_2+b_2^2+a_1b_2\right)\)
\(=\left(1+b_1^2+pb_1\right)\left(1+b_2^2-pb_2\right)\)
\(=1+b_2^2-pb_2+b_1^2+b_1^2b_2^2-pb_1^2b_2+pb_1+pb_1b_2^2-p^2b_1b_2\)
= \(1+b_1^2+b_2^2-pb_2-pb_1+1+pb_1+pb_2-p^2\)
\(=2+\left(b_1+b_2\right)^2-2b_1b_2-p^2\)
\(=q^2-p^2\)