Cho3 số x,y,z dương sao cho tổng của cả 3 số nhỏ hơn hoặc bằng 1. Tìm GTNN của
\((x+\dfrac{1}{y})(y+\dfrac{1}{z})(z+\dfrac{1}{x})\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 5 2022
\(x,y,z>0\)
Áp dụng BĐT Caushy cho 3 số ta có:
\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz\ge3.1=3\)
\(P=\dfrac{x^3-1}{x^2+y+z}+\dfrac{y^3-1}{x+y^2+z}+\dfrac{z^3-1}{x+y+z^2}\)
\(=\dfrac{\left(x^3-1\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)}+\dfrac{\left(y^3-1\right)^2}{\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}+\dfrac{\left(z^3-1\right)^2}{\left(x+y+z^2\right)\left(x^3-1\right)}\)
Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz ta có:
\(P\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}\)
\(\ge\dfrac{\left(3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}=0\)
\(P=0\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(P_{min}=0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 1 2021
\(A=\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{x+y}{xy}\right)=\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{16}{\left(x+y+z\right)^2}=16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 1 2021
Lời giải:
Bạn cần bổ sung điều kiện $x,y,z>0$
\(P=\frac{1}{x.\frac{y^2+z^2}{y^2z^2}}+\frac{1}{y.\frac{z^2+x^2}{z^2x^2}}+\frac{1}{z.\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}}=\frac{1}{x(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})}+\frac{1}{y(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2})}+\frac{1}{z(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})}\)
\(=\frac{1}{x(3-\frac{1}{x^2})}+\frac{1}{y(3-\frac{1}{y^2})}+\frac{1}{z(3-\frac{1}{z^2})}=\frac{x}{3x^2-1}+\frac{y}{3y^2-1}+\frac{z}{3z^2-1}\)
Vì $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=3\Rightarrow x^2, y^2, z^2>\frac{1}{3}$
Xét hiệu:
\(\frac{x}{3x^2-1}-\frac{1}{2x^2}=\frac{(x-1)^2(2x+1)}{2x^2(3x^2-1)}\geq 0\) với mọi $x>0$ và $x^2>\frac{1}{3}$
$\Rightarrow \frac{x}{3x^2-1}\geq \frac{1}{2x^2}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế ta có:
$P\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})=\frac{3}{2}$
Vậy $P_{\min}=\frac{3}{2}$ khi $x=y=z=1$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2021
\(P=\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{1}{y}.\dfrac{4}{x+z}=\dfrac{4}{y\left(x+z\right)}\ge\dfrac{4}{\dfrac{\left(y+x+z\right)^2}{4}}=4\)
\(P_{min}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2}\right)\)
KK
12 tháng 3 2018
a) x+y+z=1
⇔[(x+y)+z]2=1
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có
(a+b)+c ≥ 2\(\sqrt{\left(a+b\right)c}\)
⇔[(a+b)+c)]2 \(\ge4\left(a+b\right)c\)
⇔1 ≥ 4(a+b)c
nhân cả 2 vế cho số dương \(\dfrac{x+y}{xyz}\) được
\(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4\left(x+y\right)^2c}{xyz}\)
⇔\(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4z.4xy}{xyz}=16\)
Min A =16 khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=z\\x=y\\x+z+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{4};z=\dfrac{1}{2}}\)
Làm biến nghĩ nên làm cosi cho nó nhanh nhá:
Theo đề bài thì
\(3\sqrt[3]{xyz}\le x+y+z\le1\)
\(\Rightarrow xyz\le\dfrac{1}{27}\)
Ta có:
\(x+\dfrac{1}{y}=x+\dfrac{1}{9y}+\dfrac{1}{9y}+...+\dfrac{1}{9y}\ge10\sqrt[10]{\dfrac{x}{9^9y^9}}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}y+\dfrac{1}{z}\ge10\sqrt[10]{\dfrac{y}{9^9z^9}}\left(2\right)\\z+\dfrac{1}{x}\ge10\sqrt[10]{\dfrac{z}{9^9x^9}}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1), (2), (3) ta có:
\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{1}{z}\right)\left(z+\dfrac{1}{x}\right)\ge1000\sqrt[10]{\dfrac{1}{9^{27}\left(xyz\right)^8}}=1000\sqrt[10]{\dfrac{27^8}{9^{27}}}=\dfrac{1000}{27}\)