Question

[Hồng Mai]

Bài 2: Cho hình vẽ bên. Biết rằng GF = 4cm, FH = 3cm, I là trung điểm GF, IK//FH. a) Tính GK. b) Cmr:  KGF cân c) Cmr:  KFH cân (bằng 2 cách) d) Hạ KM vuông góc với FH. Cmr: M là trung điểm FH(bằng 3 cách) e) Tính độ dài IM.

Answer 1

[Lấp La Lấp Lánh]

a) Ta có: \(GI=IF=\dfrac{GF}{2}\) ( do I là trung điểm GF)

\(\Rightarrow GI=GF=\dfrac{4}{2}=2\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có:

I là trung điểm của GF(gt)

IK//FH(gt)

=> K là trung điểm của GH
=> IK là đường trung bình của tam giác ABC
=> \(IK=\dfrac{1}{2}FH=\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{3}{2}\)(cm)

Xét tam giác GIK vuông tại I có:
\(GK^2=GI^2+IK^2\)( định lý Pytago)
\(\Rightarrow GK=\sqrt{GI^2+IK^2}=\sqrt{2^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}=\dfrac{5}{2}\left(cm\right)\)

b) Xét tam giác KGF có:

\(KI\perp GF\)( KI //FH, FH⊥GF=> KI⊥GF)

KI là đường trung tuyến( I là trung điểm của GF)

=> Tam giác KGF cân tại K

c) Cách 1:

Xét tam giác GCH vuông tại C có

FK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền GH( K là trung điểm của GH)

=> \(FK=\dfrac{1}{2}GH=KH\) \(\Rightarrow\Delta FKH\) cân tại K

Cách 2:

Xét tam giác GFH có:

IK là đường trung bình

=> IK//FH \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{IKF}=\widehat{KFH}\\\widehat{GKI}=\widehat{KHF}\end{matrix}\right.\) 

Mà \(\widehat{GKI}=\widehat{IKF}\) ( do tam giác GKF cân tại K nên KI là tia phân giác \(\widehat{GKF}\))

\(\Rightarrow\widehat{KFH}=\widehat{KHF}\Rightarrow\Delta KFH\) cân tại K

Answer 2

[Lấp La Lấp Lánh]

d) Cách 1:

Xét tam giác KFH cân tại K có:

 KM là đường cao ( KM⊥FH)

=>KM là đường trung tuyến => M là trung điểm của FH

Cách 2:

Xét tứ giác IKMF có:

\(\widehat{KIF}=\widehat{IFM}=\widehat{FMK}=90^0\) => Tứ giác IKMF là hình chữ nhật

=> IK =FM mà \(FM=\dfrac{1}{2}FH\Rightarrow IK=\dfrac{1}{2}FH\Rightarrow M\) là trung điểm của FH

Cách 3:

Xét tam giác GFH có:

K là trung điểm của GH(IK là đường trung bình)

KM//GF( cùng vuông góc với FH)

=> M là trung điểm của FH 

e) Xét tam giác GCH vuông tại C có:

\(GH^2=GC^2+CH^2\Rightarrow GH=\sqrt{GC^2+CH^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\left(cm\right)\)

Ta có: Tứ giác IKMF là hình chữ nhật

\(\Rightarrow IM=FK=\dfrac{1}{2}GH=\dfrac{1}{2}.5=\dfrac{5}{2}\left(cm\right)\)