Với \(a\ge0;b\ge0\), chứng minh :
\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 10 2021
\(\sqrt{48\cdot45}=12\sqrt{15}\\ \sqrt{225\cdot17}=15\sqrt{17}\\ \sqrt{a^3b^7}=\left|ab^3\right|\sqrt{ab}=ab^3\sqrt{ab}\\ \sqrt{x^5\left(x-3\right)^2}=\left|x^2\left(x-3\right)\right|\sqrt{x}=x^2\left(x-3\right)\sqrt{x}\)
19 tháng 10 2021
\(\sqrt{48\cdot45}=4\sqrt{3}\cdot3\sqrt{5}=12\sqrt{15}\)
\(\sqrt{225\cdot17}=15\sqrt{17}\)
21 tháng 6 2017
đk : \(a\ge0;b\ge0;a\ne b\)
a) \(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) = \(\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)
= \(\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b+a-2\sqrt{ab}+b}{a-b}\) = \(\dfrac{2\left(a+b\right)}{a-b}\)
b) đk : \(a\ge0;b\ge0;a\ne b\)
\(\dfrac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{a^3}-\sqrt{b^3}}{a-b}\)
= \(\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)
= \(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{1}-\dfrac{a+\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) = \(\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
= \(\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b-a-\sqrt{ab}-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) = \(\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a+b}\)
VT
1
20 tháng 9 2020
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}\ge a+b\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}\ge0\)hiển nhiên đúng \(\forall a,b\ge0\) ---> ĐPCM
T
0
LT
0
NK
0
NK
0
Cả 2 vế đều không âm nên bình phương hai vế ta được bất đẳng thức tương đương. Điều phải chứng minh tương đương với:
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-2\sqrt{ab}+b}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{4}\ge0\)
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.