áp dụng bất đẳng thức Cô-si,tìm GTNN của P= \(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(1+b\right)\left(1+a\right)}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 1 2022
Lời giải:
Bổ sung điều kiện $a,b$ là các số dương. Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$a+b\geq 2\sqrt{ab}$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}}$
$\Rightarrow (a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{\frac{1}{ab}}=4$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2020
\(A=\dfrac{\left(a+b+c+a\right)\left(a+b+c+b\right)\left(a+b+c+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(A\ge\dfrac{2\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}.2\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}.2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
14 tháng 8 2018
Bạn tham khảo cách chứng minh tại đây :
Câu hỏi của Nguyễn Huy Thắng - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
Áp dụng : Theo BĐT \(AM-GM\) ta có :
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
Nhân vế theo vế ta được :
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=3.3.1=9\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)
7 tháng 12 2021
Áp dụng BĐT cosi:
\(\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\\ \ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=9\\ \Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge9\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 6 2021
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)
13 tháng 6 2021
Áp dụng BĐT với hai số dương ta có:
`a+b>=2sqrt{ab}`
`1/a+1/b>=2/sqrt{ab}`
`=>(a+b)(1/a+1/b)>=2sqrt{ab}. 2/sqrt{ab}=4`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b>0`
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 2 2021
\(\dfrac{1}{\left(1+\sqrt{ab}\sqrt{\dfrac{a}{b}}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+\sqrt{ab}\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)^2}\ge\dfrac{1}{\left(1+ab\right)\left(1+\dfrac{a}{b}\right)}+\dfrac{1}{\left(1+ab\right)\left(1+\dfrac{b}{a}\right)}=\dfrac{1}{1+ab}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{\left(1+c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+d\right)^2}\ge\dfrac{1}{1+cd}\)
\(\Rightarrow B\ge\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+cd}=\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{ab}}=\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{ab}{1+ab}=1\)
\(B_{min}=1\) khi \(a=b=c=d=1\)
28 tháng 2 2021
Áp dụng BĐT phụ ta có:
\(B\ge\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+cd}=\dfrac{ab+cd+2}{1+ab+cd+abcd}=1\)
Vậy GTNN của B bằng 1 <=> a=b=c=d=1
đề có cho thỏa mãn gì ko
Bài này mình từng giải rồi. Đề đúng phải là:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1.
Tìm GTNN của \(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)
Bài giải:
Ta có: \(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{1+b}{8}+\dfrac{1+c}{8}\ge\dfrac{3a}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\dfrac{6a-b-c-2}{8}\left(1\right)\)
Tương tự \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}\ge\dfrac{6b-c-a-2}{8}\left(2\right)\\\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\dfrac{6c-a-b-2}{8}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:
\(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\dfrac{6a-b-c-2}{8}+\dfrac{6b-c-a-2}{8}+\dfrac{6c-a-b-2}{8}\)
\(=\dfrac{a+b+c}{2}-\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)
PS: Chép đề thì cẩn thận vô bạn.