Chứng minh rằng :
\(x^2+2y^2+2xy+y+1>0;\forall x,y\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NH
2
19 tháng 10 2016
\(x^2-2xy-x+1+2y^2=x^2-x\left(2y+1\right)+\frac{\left(2y+1\right)^2}{4}-\frac{\left(2y+1\right)^2}{4}+2y^2+1\)
\(=\left(x-\frac{2y+1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\left(2y-1\right)^2+\frac{1}{2}>0\)
OY
21 tháng 10 2021
a) \(2x^2+2x+1=0\)
\(\Rightarrow2x^2+2x=-1\)
\(\Rightarrow2x\left(x+1\right)=-1\)
⇒ Pt vô nghiệm
21 tháng 10 2021
a: \(2x^2+2x+1=0\)
\(\text{Δ}=2^2-4\cdot2\cdot1=4-8=-4< 0\)
Vì Δ<0 nên phương trình vô nghiệm
H
11 tháng 12 2022
Ta có: x2+y2+2xy-4x-2y+1=0
⇔(x2+y2+2xy-2x-2y+1)-2x=0
⇔(x+y-1)2=2x
Mà (x+y-1)2 là số chính phương
⇒2x là số chính phương
⇒2x chia 4 dư 0 hoặc 1
Mà 2x là số chẵn
⇒2x chia hết cho 4
⇒x chia hết cho 2
⇒x là số chẵn(đpcm)
Lại có:(x+y-1)2=2x
⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\)=x
⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\): 2=x:2
⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\). \(\dfrac{1}{2}\) =x:2
⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{4}\)=x:2
⇒(\(\dfrac{x+y-1}{2}\))2=x:2
Mà \(\left(\dfrac{x+y-1}{2}\right)^2\) là số chính phương
⇒x:2 là số chính phương (đpcm)
VH
2
27 tháng 8 2020
\(A=x^2+2y^2-2xy+4x-6y+6\)
\(=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2+4x+4\right)+\left(y^2-6y+9\right)-7\)
\(=\left(x-y\right)^2+\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2-7\)
Đề hình như có gì đó không đúng
KN
27 tháng 8 2020
Ta có: \(A=x^2+2y^2-2xy+4x-6y+6=\left(x^2-2xy+y^2\right)\) \(+4\left(x-y\right)+4+y^2-2y+1+1=\left[\left(x-y\right)^2+4\left(x-y\right)+4\right]\)\(+\left(y-1\right)^2+1=\left(x-y+2\right)^2+\left(y-1\right)^2+1\)
Ta có: \(\left(x-y+2\right)^2\ge0\forall x,y\); \(\left(y-1\right)^2\ge0\forall y\)nên \(\left(x-y+2\right)^2+\left(y-1\right)^2+1>0\forall x,y\)
Vậy \(A=x^2+2y^2-2xy+4x-6y+6>0\forall x,y\)(đpcm)
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
9 tháng 10 2021
2)
\(A=2x^2+2x+y^2-2xy=x^2-2xy+y^2+x^2+2x+1-1\)
\(=\left(x-y\right)^2+\left(x+1\right)^2-1\ge-1\)
Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\x+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=-1\).
Vậy GTNN của \(A\)là \(-1\)đạt tại \(x=y=-1\).
\(B=2a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc\)
\(2B=4a^2+2b^2+2c^2-2ab+2ac+2bc\)
\(=a^2-2ab+b^2+a^2+2ac+c^2+b^2+2bc+c^2+2a^2\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(a+c\right)^2+\left(b+c\right)^2+2a^2\ge0\)
Dấu \(=\)khi \(a=b=c=0\).
Vậy GTNN của \(B\)là \(0\)đạt tại \(a=b=c=0\).
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
9 tháng 10 2021
1.
a) \(2x^2+2x+1=x^2+x^2+2x+1=x^2+\left(x+1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\x+1=0\end{cases}}\)(vô nghiệm)
suy ra đpcm
b) \(x^2+y^2+2xy+2y+2x+2=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+1+1=\left(x+y+1\right)^2+1>0\)
c) \(3x^2-2x+1+y^2-2xy+1=x^2-2xy+y^2+x^2-2x+1+x^2+1\)
\(=\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+x^2+1>0\)
d) \(3x^2+y^2+10x-2xy+26=x^2-2xy+y^2+x^2+10x+25+x^2+1\)
\(=\left(x-y\right)^2+\left(x+5\right)^2+x^2+1>0\)
25 tháng 7 2017
Đặt \(xy-12x+15y\)là (*)
Từ phương trình (1) ta có \(x^2-3xy+2y^2+x-y=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-2y\right)+\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-2y+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=2y-1\end{cases}}\)
Với \(x=y\)thay vào (2) ta có \(x^2-2x^2+x^2-5x+7x=0\Leftrightarrow x=0\Rightarrow x=y=0\)
Thay \(x=y=0\)vào (*) ta thấy 0.0-12.0+15.0=0(tm)
Với \(x=2y-1\Rightarrow\left(2y-1\right)^2-2\left(2y-1\right)y+y^2-5\left(2y-1\right)+7y=0\)
\(\Leftrightarrow4y^2-4y+1-4y^2+2y+y^2-10y+5+7y=0\)
\(\Leftrightarrow y^2-5y+6=0\Leftrightarrow\left(y-2\right)\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=2\\y=3\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=5\end{cases}}}\)
Với \(x=3;y=2\)thay vào (*) ta thấy \(3.2-12.3+15.0=0\left(tm\right)\)
Với \(x=5;y=3\)thay vào (*) ta thấy \(5.3-12.5+15.3=0\left(tm\right)\)
Vậy .....
NB
1
25 tháng 10 2018
\(x^2+y^2+1\ge2x+2y-2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+1-2x-2y+2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+1^2+2.x.y-2.x.1-2.y.1\ge0\)
\(\left(x+y-1\right)^2\ge0\)( luôn đúng)
Vậy \(x^2+y^2+1\ge2x+2y-2xy\)
Ta có : \(x^2+2y^2+2xy+y+1\)
\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2+y+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}\)
\(=\left(x+y\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall x,y\)