Cho a, b, c, d là những số dương.
Chứng minh rằng :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KK
29 tháng 4 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d}=\dfrac{16}{a+b+c+d}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
31 tháng 1 2018
Chỉ bằng các kiến thức cho trong SGK (bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm; bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 cặp số) có thể giả bài toán như sau:
Ta có \(\left(a+b+c+d\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)=\)
\(=a\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)+b\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)+c\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)+d\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)\)
\(=4+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{d}+\dfrac{d}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{b}{d}+\dfrac{d}{b}\right)+\left(\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{c}\right)\)
\(\ge4+2+2+2+2+2+2=16\)
Từ đó \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{16}{a+b+c+d}\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{a};\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{a};\dfrac{a}{d}=\dfrac{d}{a};\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{b};...\Leftrightarrow a=b=c=d\)
KK
8 tháng 4 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{a+b+c}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
25 tháng 3 2018
1) xét hiệu
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}\ge0\)
<=> \(\dfrac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\dfrac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}-\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
=> b(a+b)+a(a+b)-4ab ≥ 0
<=> ab+b2+a2+ab-4ab ≥ 0
<=> a2 -2ab+b2 ≥ 0
<=> (a-b)2 ≥ 0 (luôn đúng )
=> đpcm
25 tháng 3 2018
2)Ta có:\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
TT\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(c+a\right)^2\ge4ca\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\ge64a^2b^2c^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
T
14 tháng 6 2019
11/Theo BĐT AM-GM,ta có; \(ab.\frac{1}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)\(=\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự với hai BĐT kia,cộng theo vế và rút gọn ta được đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi a= b=c
T
14 tháng 6 2019
Ơ vãi,em đánh thiếu abc dưới mẫu,cô xóa giùm em bài kia ạ!
9/ \(VT=\frac{\Sigma\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)
\(=\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8+abc+\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\le\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+9+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}\)
\(=\frac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}=1\left(Q.E.D\right)\)
"=" <=> a = b = c = 1.
Mong là lần này không đánh thiếu (nãy tại cái tội đánh ẩu)
11 tháng 8 2021
\(P=\dfrac{4a^2}{4b+2c}+\dfrac{4b^2}{4a+2c}+\dfrac{c^2}{4a+4b}\ge\dfrac{\left(2a+2b+c\right)^2}{8a+8b+4c}\)
\(=\dfrac{\left(2a+2b+c\right)^2}{4\left(2a+2b+c\right)}=\dfrac{1}{4}\left(2a+2b+c\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 4 2022
Đề bài sai
Đề đúng: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\le\dfrac{1}{2}\)
Giả sử: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng).
Vì vậy: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\).