Question

[Trần Thị Hà My]

a. Cho các số a , b , c khác nhau đôi một và \(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}\)

Tìm giá trị của biểu thức \(H=\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)

b. Tìm các cặp số nguyên ( x ; y ) sao cho : \(\left(9x+6xy\right)-2y=-8\)

c. Cho 6 số nguyên dương \(a< b< c< d< m< n\)

Chứng minh rằng : \(\dfrac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \dfrac{1}{2}\)

Answer 1

[Nguyễn Thị Thảo]

TH1:a+b+c=0

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow H=\dfrac{b+a}{b}.\dfrac{c+b}{c}.\dfrac{a+c}{a}=\dfrac{\left(-c\right)\left(-b\right)\left(-a\right)}{b.c.a}=-1\)

TH2:\(a+b+c\ne0\)

Áp dụng tc dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2c\\b+c=2a\\c+a=2b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow H=\dfrac{b+a}{b}.\dfrac{c+b}{c}.\dfrac{a+c}{a}=\dfrac{\left(2c\right)\left(2b\right)\left(2a\right)}{b.c.a}=8\)

Vậy H=-1 hoặc H=8

Answer 2

[Quách Phú Đạt]

c)

Ta có \(a< b< c< d< m< n\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a< b\\c< d\\m< n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a+c+m\le b+d+n\)

\(\dfrac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2a+2c+2m< a+b+c+d+m+n\)

\(\Leftrightarrow a+c+m< b+d+n\) ( thỏa mãn đề bài )

\(\Rightarrow\) đpcm