Cho đa giác lồi A1A2...An ; \(\overrightarrow{e_i}\) \(\left(1\le i\le n\right)\) là vecto đơn vị vuông góc với \(\overrightarrow{A_iA_{i+1}}\) (xem \(A_{n+1}\equiv A_1\)) và hướng ra phía ngoài đa giác. Chứng minh rằng \(A_1A_2\overrightarrow{e_1}+A_2A_3\overrightarrow{e_2}+...+A_nA_1\overrightarrow{e_n}=\overrightarrow{0}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
tham khảo:
a) Hình chóp S.A1A2...An đều nên SA1 = SA2 = … = SAn
Vì O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (A1A2...An) nên OA1, OA2, …, OAn lần lượt là hình chiếu của SA1, SA2, …, SAn
⇒⇒ OA1 = OA2 = … = OAn ⇒⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1A2...An
b) Nếu đa giác A1A2...An là đều và O là tâm của đa giác đó thì OA1 = OA2 = … = OAn ⇒⇒ SA1 = SA2 = … = SAn ⇒⇒ Hình chóp S.A1A2...An là hình chóp đều
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Chọn 3 đỉnh bất kỳ: \(n\left(\Omega\right)=C^3_n\left(cach\right)\)
Gọi 3 đỉnh đó là A,B,C tạo thành tam giác tù =>A >90 độ => B,C<90 độ
Chọn một đỉnh là B (hoặc C): \(C^1_n=n\left(cach\right)\)
Kẻ đường kính ua B chia đường tròn thành 2 nữa, mỗi nữa sẽ có \(\dfrac{n}{2}-1\) (đỉnh của đa giác đều)
Để tạo thành tam giác tù thì A và C (hoặc A và B) phải ở cùng một nữa
Số cách chọn A và C (A và B): \(C^2_{\dfrac{n}{2}-1}+C^2_{\dfrac{n}{2}-1}\left(cach\right)\)
\(\Rightarrow n\left(A\right)=\dfrac{1}{2}.n\left(C^2_{\dfrac{n}{2}-1}+C^2_{\dfrac{n}{2}-1}\right)\left(tam-giac-tu\right)\)
\(\Rightarrow p\left(A\right)=\dfrac{n\left(A\right)}{n(\Omega)}=...\)
Làm bừa xem đúng ko :D
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Vì mặt phẳng không đi qua S và song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh SA1, SA2,.... SAn, tương ứng tại B1, B2,..., Bn nên theo định lý Talet trong từng tam giác SA1A2, …, SAn-1An thì \(\frac{{S{B_1}}}{{S{A_1}}} = \frac{{S{B_2}}}{{S{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{A_1}{A_2}}} = ... = \frac{{S{B_n}}}{{S{A_n}}}\) mà S.A1A2...An là hình chóp đều nên S.B1B2...Bn cũng là một hình chóp đều.
b) Ta có \(SH \bot \left( {{A_1}{A_2}...{A_n}} \right)\) (H là tâm của đa giác A1A2...An)
Mà \(\left( {{A_1}{A_2}...{A_n}} \right)//\left( {{B_1}{B_2}...{B_n}} \right)\)
\( \Rightarrow \)\(SH \bot \left( {{B_1}{B_2}...{B_n}} \right)\)
Mà \(SK \bot \left( {{B_1}{B_2}...{B_n}} \right)\) (K là tâm của đa giác B1B2...Bn)
\( \Rightarrow \) SH trùng SK
Vậy đường thẳng SH đi qua tâm K của đa giác đều B1B2...Bn, và HK vuông góc với các mặt phẳng (A1A2...An), (B1B2...Bn)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đáp án D
Cứ nối 3 điểm bất kì của đa giác tạo thành 1 tam giác nên số tam giác là C 10 3
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đáp án D
Cứ nối 3 điểm bất kì của đa giác tạo thành 1 tam giác nên số tam giác là .
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp : Giả sử đẳng thức đúng với đa giác (n-1) cạnh.
Gọi \(\overrightarrow{e}\) là vecto đơn vị vuông góc với \(A_1A_{n-1}\) và hướng ngoài tam giác \(A_1A_{n-1}A_n\)
Ta dễ dàng chứng minh được \(A_nA_1.\overrightarrow{e_n}+A_1A_{n-1}.\overrightarrow{e}+A_{n-1}.A_n.\overrightarrow{e_{n-1}}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow A_nA_1\overrightarrow{e_n}+A_{n-1}A_n\overrightarrow{e_{n-1}}=-\overrightarrow{e}A_1A_{n-1}\)Giả sử đẳng thức đúng với n-1 , tức \(A_1A_2.\overrightarrow{e_1}+A_2A_3\overrightarrow{e_2}+...+A_{n-1}A_n\overrightarrow{e_{n-1}}=\overrightarrow{0}\)
Từ giả thiết quy nạp ta có
\(A_1A_2.\overrightarrow{e_1}+A_2A_3\overrightarrow{e_2}+...+A_{n-1}A_n\overrightarrow{e_{n-1}}-A_1A_{n-1}\overrightarrow{e}=\overrightarrow{0}\)
\(A_1A_2.\overrightarrow{e_1}+A_2A_3\overrightarrow{e_2}+...+A_{n-1}A_n\overrightarrow{e_{n-1}}+A_nA_1\overrightarrow{e_n}+A_{n-1}A_n\overrightarrow{e_{n-1}}=\overrightarrow{0}\)(đpcm)