GiuCho tg ABCD biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véctơ OA,OB,OC,OD(có mũi tên trên đầu nha) có độ dài bằng nhau và OA+OB+OC+OD= vécto 0 ( tất cả có mũi tên trên đầu hết nha). Cmr: ABCD là hình chữ nhật.
Giúp mình với.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB, CD$. Ta có:
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{ND}$
$=2\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow \overrightarrow{OM}=-\overrightarrow{ON}$ nên $O$ là trung điểm $MN$
Tam giác $OAB$ cân tại $O$ có $OM$ là trung tuyến đồng thời là đường cao
$\Rightarrow OM\perp AB$. Hoàn toàn tương tự $ON\perp CD$
Mà $O,M,N$ thẳng hàng nên $AB\parallel CD(1)$
Tương tự, đặt $P,Q$ là trung điểm $AD, BC$ ta có:
$AD\paralle BC(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow ABCD$ là hình bình hành.
$MN$ là đường trung bình của hbh $ABCD$ nên $MN\parallel BC$. Mà ở trên ta chỉ ra $OM\perp AB; O,N,M$ thẳng hàng nên $AB\perp BC$
Hình bình hành $ABCD$ có 2 cạnh kề vuông góc nên là hình chữ nhật.
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
Câu hỏi của Thư Nguyễn - Toán lớp 10 | Học trực tuyến