K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

16 tháng 8 2016

Chứng minh bằng biến đổi tương đương :

\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\) . Vì hai vế không âm nên bình phương cả hai vế : 

\(\frac{a+b}{2}\ge\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\) \(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge a+b+2\sqrt{ab}\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu dc chứng minh. 

Dấu "=" xảy ra khi a = b (a,b không âm)

NV
22 tháng 6 2019

a/

\(=\frac{a+b}{b^2}.\frac{\left|a\right|.b^2}{\left|a+b\right|}=\frac{\left(a+b\right).b^2.\left|a\right|}{b^2\left(a+b\right)}=\left|a\right|\)

b/

\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\frac{4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)

\(=\frac{4\sqrt{ab}+4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\frac{2\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

22 tháng 12 2016

đúng với mọi a,b chứ nhỉ

nếu a, b <0 VT>=0 VP<0 => đúng

Bp

\(\Leftrightarrow2.\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-\left(a^2+2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) hiển nhiên đúng=> dpcm

17 tháng 7 2020

Bài làm:

Ta có: \(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\right)^2\ge\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\frac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}-\frac{a+b}{4}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{4}\ge\frac{\sqrt{ab}}{2}\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)luôn đúng (áp dụng Cauchy ngược)

=> đpcm

17 tháng 7 2020

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\left(1\right)\)

Cộng 2 vế của (1) với a+b được

\(2\left(a+b\right)\ge a+2\sqrt{ab}+b\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)(2)

Chia 2 vế của (2) cho 4 được: \(\frac{a+b}{2}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\left(đpcm\right)\)

18 tháng 7 2020

Với DK:a\(\ge\)b,b\(\ge\)0,a\(\ne\)b

\(\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=0\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2018

Lời giải:

Biến đổi tương đương:

\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4}=\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}-\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{4}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{4}\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$

3 tháng 9 2018

Áp dụng BĐT cô-si, ta được:

\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\ge2\sqrt{a}\\\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{b}\end{cases}}\)

=>  \(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)

=> \(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\) (đpcm)

Vậy....

26 tháng 11 2020

Biến đổi tương đương ta được :

\(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\frac{\sqrt{a}^3+\sqrt{b}^3}{\sqrt{ab}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)}{\sqrt{ab}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}\le a-\sqrt{ab}+b\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)( đúng với đk )