Chứng minh với mọi số nguyên n thì: (2n-1)^3-(2n-1) chia hết cho 8
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có:
\(\left(2n-1\right)^3-\left(2n-1\right)\)
\(=\left(2n-1\right)\left[\left(2n-1\right)^2-1\right]\)
\(=\left(2n-1\right)\left(2n-1+1\right)\left(2n-1-1\right)\)
\(=\left(2n-1\right).2n.\left(2n-2\right)\)
\(=4n\left(2n-1\right)\left(n-1\right)\)
Vì \(4n\left(2n-1\right)\left(n-1\right)\) chia hết cho 4 ( Do chứa thừa số 4 )
Đồng thời \(4n\left(2n-1\right)\left(n-1\right)\) chia hết cho 2 ( Do n(n-1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow4n\left(2n-1\right)\left(n-1\right)\) chia hết cho 8
(2n-1)^3-(2n-1)
=(2n-1)((2n-1)2-1)
=(2n-1)(2n-1+1)(2n-1-1)
=2n(2n-1)(2n-2)
=4n(2n-1)(n-1)
=> 4n(2n-1)(n-1) chia hết cho 4 (1)
mà (2n-1)(n-1)=(n+n-1)(n-1)
=> (2n1)(n-1) chia hết cho 2 (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra (2n-1)^3 - (2n-1) chia hết cho 8
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
(2n-1)^3-(2n-1)
=(2n-1)((2n-1)2-1)
=(2n-1)(2n-1+1)(2n-1-1)
=2n(2n-1)(2n-2)
=4n(2n-1)(n-1)
=> 4n(2n-1)(n-1) chia hết cho 4 (1)
mà (2n-1)(n-1)=(n+n-1)(n-1)
=> (2n1)(n-1) chia hết cho 2 (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra (2n-1)^3 - (2n-1) chia hết cho 8
Vì n(n-1) là tích 2 số nguyên liên tiếp => n(n-1) chia hết cho 2.
=>4n(n-1)(2n-1) chia hết cho 8.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)=2n^2-3n-2n^2-2n=-5n\)
mà \(-5n⋮5\left(n\in Z\right)\)
⇒đpcm
\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)=\)
\(=2n^2-3n-2n^2-2n=-5n⋮5\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
sửa đề : \(\left(2n-1\right)^3-\left(2n-1\right)\)
đề đó mình nghĩ vậy
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài 1:
Ta có: \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)\)
\(=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n\)
\(=6n⋮6\)
1) \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n=6n⋮6\forall n\in Z\)
2) \(n\left(3-2n\right)-\left(n-1\right)\left(1+4n\right)-1=3n-2n^2-4n^2+3n+1-1=-6n^2+6n=6\left(-n^2+n\right)⋮6\forall n\in Z\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Từ đề bài ta có A= 3n+1 (32 + 1) + 2n+1 (2 +1) = 3n .3.2.5 + 2n .2.3
=> ĐPCM;