câu 1: tìm a , b ,c biết:
a) a : b :c = 2 : 4 : 5 và 2a - b + c = 7
b) a / 2 = b / 3 = c / 4 và a2 - b2 + 2c = 108
mong nhận được sự giúp đỡ của thầy cô và các bạn
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{ab}{a+3b+2c}=\dfrac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ab}{2b}\right)\)
\(=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{a}{2}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{bc}{b+3c+2a}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{b}{2}\right)\)
\(\dfrac{ac}{c+3a+2b}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ac}{a+b}+\dfrac{c}{2}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc+ac}{a+b}+\dfrac{bc+ab}{a+c}+\dfrac{ab+ac}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{2}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{9}.\left(a+b+c+\dfrac{a+b+c}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Ta có:
\(\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}\le\dfrac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+a+c}}\le\dfrac{b\sqrt{1+c+a}}{a+b+c}\) ; \(\dfrac{c}{\sqrt{c^2+b+a}}\le\dfrac{c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\)
Lại có:
\(a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}\)
\(=\sqrt{a}.\sqrt{a+ab+ac}+\sqrt{b}.\sqrt{b+bc+ab}+\sqrt{c}.\sqrt{c+ac+bc}\)
\(\le\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b+c+2ab+2bc+2ca\right)}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b+c+2ab+bc+ca\right)}}{a+b+c}=\sqrt{\dfrac{a+b+c+2ab+2bc+2ca}{a+b+c}}\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{a+b+c+2ab+2bc+2ca}{a+b+c}\le3\Leftrightarrow a+b+c\ge ab+bc+ca\)
Thật vậy:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge ab+bc+ca\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
C/m : \(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1\) (*)
Thật vậy , (*) \(\Leftrightarrow\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(a+2\right)\left(c+2\right)=\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac+4\left(a+b+c\right)+12=abc+2\left(ab+bc+ac\right)+4\left(a+b+c\right)+8\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac+abc=4\) (Đ)
=> (*) đúng ( đpcm )
b. Cho \(\frac{a}{b}\)=\(\frac{c}{d}\)=k => a=bk; c=dk
Vế trái =\(\frac{a^2}{b^2}\)=\(\frac{b^2k^2}{b^2}\)=\(k^2\)(1)
Vế phải =\(\frac{a^2-ac}{b^2-bd}\)=\(\frac{b^2k^2-bk.dk}{b^2-bd}\)=\(\frac{k^2\left(b^2-bd\right)}{b^2-bd}\)=\(k^2\)(2)
từ (1) và (2) ta có\(\frac{a^2}{b^2}\)=\(\frac{a^2-ac}{b^2-bd}\)
b.Cho \(\frac{a}{b}\)=\(\frac{c}{d}\)=k => a=bk; c=dk
Vế trái =\(\frac{5a+5b}{5b}\)=\(\frac{5bk+5b}{5b}\)=\(\frac{5b\left(k+1\right)}{5b}\)=k+1(1)
Vế phải =\(\frac{c^2+cd}{cd}\)=\(\frac{d^2.k^2+d^2.k}{d^2.k}\)=\(\frac{d^2.k\left(k+1\right)}{d^2.k}\)=k+1(2)
từ (1) và (2) ta có\(\frac{5a+5b}{5b}\)=\(\frac{c^2+cd}{cd}\)
\(ab+bc+ca=abc\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P
Ta có:
\(\dfrac{1}{a+2b+3c}=\dfrac{1}{a+b+b+c+c+c}\le\dfrac{1}{6^2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+2b+3c}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{b+2c+3a}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}+\dfrac{3}{a}\right)\) ; \(\dfrac{1}{c+2a+3b}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{6}{a}+\dfrac{6}{b}+\dfrac{6}{c}\right)=\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
a. ta có : \(\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{1}{2}\\\frac{a}{c}=\frac{2}{5}\\2a-b+c=7\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}b=2a\\a=\frac{2}{5}c\\b-b+c=7\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}b=2a\\a=\frac{2}{5}c\\c=7\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a=\frac{14}{5}\\b=\frac{28}{5}\\c=7\end{cases}\)
b. \(\begin{cases}2c=4a\\2b=3a\\a^2-b^2+2c^2=108\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}c=2a\\b=\frac{3}{2}a\\a^2-b^2+2c^2=108\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}c=2a\\b=\frac{3}{2}a\\a^2-\left(\frac{3}{2}a\right)^2+2\left(2a\right)^2=108\left(1\right)\end{cases}\)
Giải (1) ta có : a=4 hoặc a = -4
Với a=4 thì : \(\begin{cases}a=4\\b=6\\c=8\end{cases}\)
Với a=-4 thì : \(\begin{cases}a=-4\\b=-6\\c=-8\end{cases}\)