Chứng minh rằng họ đường thẳng sau luôn tiếp xúc với một đường cong cố định \(\left(C_m\right):y=2mx^3-x^2+\left(2m+1\right)x-m^2+2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 4 2016
Giả sử \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với đường thẳng \(y=ax+b\), khi đó phương trình sau có nghiệm với mọi m :
\(\begin{cases}\frac{\left(3m+1\right)x+m-m^2}{x+m}=ax+b\\\frac{4m^2}{\left(x+m\right)^2}=a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}3m+1-\frac{4m^2}{x+m}=a\left(x+m\right)am+b\\\frac{4m^2}{\left(x+m\right)^2}=a\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{8m^2}{x+m}=am+3m+1-b\\\frac{4m^2}{\left(x+m\right)^2}=a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\frac{\left(am+3m+1-b\right)^2}{16m^2}=a\) với mọi m
\(\Leftrightarrow\left(a^2-10a+9\right)m^2+2\left(a+3\right)\left(1-b\right)m+\left(1-b\right)^2=0\) với mọi m
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-10a+9=0\\\left(a+3\right)\left(1-b\right)=0\\\left(1-b\right)^2=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=1;a=9\\b=1\end{cases}\)
Vậy \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng \(y=x+1;y=9x+1\)
LV
9 tháng 4 2017
a, \(\left(Cm\right)\) có tâm I(m;-2m)luôn thuộc đường thẳng (d) 2x+y=0 và có bán kính R=1
Vậy \(\left(Cm\right)\) luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định, đó là tiếp tuyến của\(\left(Cm\right)\) song song với (d)
b,\(0< |m|< \dfrac{2}{\sqrt{5}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 1 2022
Phương trình \(\left(C_m\right)\) viết lại:
\(y=\left(x-m+2\right)^3-3\left(x-m+2\right)\)
Họ đồ thị hàm \(\left(C_m\right)\) đơn giản là đồ thị hàm \(y=x^3-3x\) tịnh tiến song song với trục Ox, do đó họ đồ thị này luôn tiếp xúc với các tiếp tuyến tại cực trị của \(y=x^3-3x\) (là hai đường thẳng \(y=\pm2\))
Vậy họ đường cong \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định \(y=\pm2\)
29 tháng 4 2016
Ta có \(y=\left(m+1\right)x+m\left(m+1\right)+\frac{m^3}{x-m}\) suy ra tiệm cận xiên của \(\left(C_m\right)\) là đường thẳng d có phương trình \(y=\left(m+1\right)x+m\left(m+1\right)\)
Giả sử d luôn tiếp xúc với Parabol (P) : \(y=ax^2+bx+c;\left(a\ne0\right)\) khi đó phương trình sau có nghiệm bội với mọi m :
\(ax^2+bx+c=\left(m+1\right)x+m\left(m+1\right)\)
\(\Leftrightarrow ax^2+\left(b-m-1\right)x+c-m^2-m=0\)(*)
\(\Leftrightarrow\Delta=\left(m+1-b\right)^2-4a\left(c-m^2-m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1+4a\right)m^2+2\left[\left(1-b\right)+2a\right]m+\left(1-b\right)^2-4ac=0\) với mọi m
\(\Leftrightarrow\begin{cases}1+4a=0\\\left(1-b\right)+2a=0\\\left(1-b\right)^2-4ac=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=-\frac{1}{4}\\b=\frac{1}{2}\\c=-\frac{1}{4}\end{cases}\)
\(\Rightarrow\left(P\right):y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)
Vậy d luôn tiếp xúc với Parabol (P) \(y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)
29 tháng 4 2016
Giả sử \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm mà d không đi qua, khi đó phương trình :
\(y_0=\left(m+1\right)x_0+m^2+m\Leftrightarrow m^2+\left(x_0+1\right)m+x_0-y_0=0\) vô nghiệm với mọi m
\(\Leftrightarrow\Delta=\left(x_0+1\right)^2-4x_0+4y_0< 0\)
\(\Leftrightarrow y_0< -\frac{1}{4}x_0^2+\frac{1}{2}x_0-\frac{1}{4}\)
Ta dễ dàng chứng minh được d luôn tiếp xúc với Parabol
\(\left(P\right):y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)
5 tháng 10 2015
hoành độ giao điểm là nghiệm của pt
\(x^3-3mx^2+3\left(2m-1\right)x+1=2mx-4m+3\Leftrightarrow x^3-3mx^2+4mx-3x-2+4m=0\Leftrightarrow x^3-3x-2-m\left(3x^2-4x+4\right)=0\)
giải hệ pt ta có \(C_m\) luôn đi qua điểm A là nghiệm của hệ pt sau
\(\begin{cases}3x^2-4x+4=0\\x^3-3x-2=0\end{cases}\)
ta đc điều phải cm
28 tháng 4 2016
Điều kiện cần : \(y'=\frac{9}{\left(x-m\right)^2}\)
Nếu có một tiếp tuyến cố định chung cho mọi đồ thị của họ \(\left(C_m\right)\) thì hiển nhiên hệ số góc của tiếp tuyến ấy không đổi
Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì ắt tồn tại điểm x sao cho y' có góc không phụ thuộc m. Nếu có điều đó xảy ra thì ắt phải xảy ra tại các điểm mà
\(x-m=a\Leftrightarrow x=a+m\) (Với a là hằng số)
Tại \(x=a+m\), ta có \(y'=\frac{-9}{a^2};y=\frac{ma+3a-9}{a}\)
Phương trình tiếp tuyến của \(\left(C_m\right)\) là \(y=\frac{9}{a^2}\left(x-a-m\right)+\frac{ma+3a-9}{a}\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{9}{a^2}\left[\left(9x-18a+3a^2+m\left(a^2-9\right)\right)\right]\) (1)
* Điều kiện đủ : Với \(a^2-9=0\Leftrightarrow a=\pm3\)
Ta có (1) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y=9\left(x-3\right)\\y=9\left(x+9\right)\end{array}\right.\)
Rõ ràng \(y=9x-27\) và \(y=9x+81\) là các tiếp tuyến cố định của họ đồ thị khi m thay đổi
VT
7 tháng 10 2018
TH1: m = 0 => -2y = 2 => y = -1
Nên (d) đi qua điểm (0; -1) cố định
TH2: m # 0
Giả sử A(xo;yo) là điểm mà (d) luôn đi qua
\(\Leftrightarrow m\sqrt{3}x_0+2my_0-2y_0-m-2=0\\ \Leftrightarrow m\left(\sqrt{3}x_0+2y_0-1\right)-2y_0-2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3}x_0+2y_0-1=0\\2y_0+2=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_0=-1\\x=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
Nên (d) đi qua điểm A(√3; -1) cố định
Vậy với mọi m, đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định
3 tháng 5 2016
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\Delta_m\right)\) và \(\left(C_m\right)\) được viết thành :
\(\left(x+1\right)\left(x^2-3mx+2m^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-m\right)\left(x-2m\right)=0\)
\(\Rightarrow\) Giao điểm của \(\left(\Delta_m\right)\) và \(\left(C_m\right)\) gồm \(A\left(-1;-m-m^2\right);B\left(m;0\right)\) và \(C\left(2m;m^2\right)\), trong số đó, A là điểm duy nhất có hoành độ không đổi (khi m thay đổi)
Đặt \(f_m\left(x\right)=x^3-\left(3m-1\right)x^2+2m\left(m-1\right)x+m^2\)
Các tiếp tuyến của \(\left(C_m\right)\) tại B và C lần lượt là các đường thẳng :
\(\left(\Delta_B\right):y=f_m'\left(x_B\right)x+y_b-f_m'\left(x_B\right)x_B\)
\(\left(\Delta_C\right):y=f_m'\left(x_C\right)x+y_C-f_m'\left(x_C\right)x_C\)
Ta cần tìm m để B và C cùng khác A và \(\Delta_B\backslash\backslash\Delta_C\), tức là :
\(\begin{cases}x_B\ne x_A\\x_C\ne x_A\\f'_m\left(x_B\right)=f'_m\left(x_C\right)\\y_B-f'_m\left(x_B\right)x_B\ne y_C-f'_m\left(x_C\right)x_C\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne-1\\m\ne-\frac{1}{2}\\-m^2=2m^2+2m\\m^3\ne-4m^3-3m^2\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow m=-\frac{2}{3}\)
Giả sử \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm mà họ \(\Delta_{\alpha}\) không đi qua. Khi đó phương trình sau vô nghiệm với mọi m : \(m^2-2\left(x^3_0+x_0\right)m+y_0+x^2_0-x_0-2=0\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=\left(x^3_0+x_0\right)^2-\left(y_0+x^2_0-x_0-2\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow y_0>x^6_0+2x^4_0+x_0+2\)
Xét phương trình : \(2mx^3-x^2+\left(2m+1\right)x-m^2+2=x^6+2x^4+x+2\)
\(\Leftrightarrow m^2-2\left(x^3+x\right)m+\left(x^3+x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+x-m\right)^2=0\) (*)
Vì phương trình \(x^3+x-m=0\) luôn có nghiệm nên (*) luôn có nghiệm bội.
Vậy \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với đường cong \(y=x^6+2x^4+x+2\)
Khi đó:
hay
Cách 2: Gọi
Hay
Xét đường biên:
Lập phương trình hoành độ giao điểm ta được:
Phương trình này luôn có 1 nghiệm kép nên (dm) luôn tiếp xúc (P)