Question

[Ngô Việt Hà]

Tìm m để đồ thị 2 hàm số \(\left(C_1\right):y=mx^3+\left(1-2m\right)x^2+2mx\)

                                  và \(\left(C_2\right):y=3mx^3+3\left(1-2m\right)x+4m-2\) tiếp xúc nhau.

Answer 1

[Nguyễn Thái Bình]

Ta có : \(\left(C_1\right)\) và \(\left(C_2\right)\) tiếp xúc nhau <=> hệ phương trình sau có nghiệm :

    \(\begin{cases}mx^3+\left(1-2m\right)x^2+2mx=3mx^3+3\left(1-2m\right)x+4m-2\\3mx^2+2\left(1-2m\right)x+2m=9mx^2+3\left(1-2m\right)\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}2mx^3-\left(1-2m\right)x^2+\left(3-8m\right)x+4m-2=0\left(1\right)\\6mx^2-2\left(1-2m\right)x+3-8m=0\left(2\right)\end{cases}\)

Ta có : \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2mx^2-\left(1-4m\right)x+4m+2\right)=0\)

                \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\\2mx^2-\left(1-4m\right)x-4m+2=0\end{array}\right.\)

* Với \(x=1\) thay vào (2), ta có \(m=\frac{1}{2}\)

* Với \(2mx^2-\left(1-4m\right)x-4m+2=0\) (*) ta có :

\(\left(2\right)\Leftrightarrow4mx^2-x+1-4m=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\\x=\frac{1-4m}{4m}\end{array}\right.\) (\(m\ne0\) vì m = 0 hệ vô nghiệm)

Thay \(x=\frac{1-4m}{4m}\) vào (*) ta được : 

                     \(\frac{\left(1-4m\right)^2}{8m}-\frac{\left(1-4m\right)^2}{4m}+2-4m=0\)

                 \(\Leftrightarrow48m^2-24m+1=0\)

                 \(\Leftrightarrow m=\frac{3\pm\sqrt{6}}{12}\)

Vậy \(m=\frac{3\pm\sqrt{6}}{12};m=\frac{1}{2}\)