Question

[Ngoc Huyen Nguyen]

Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y= \(\frac{x-2}{x+1}\) biết tiếp tuyến tạo với 2 đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất

Answer 1

[Nam Tước Bóng Đêm]

Đồ thị © có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y=2.Giao điểm của hai tiệm cận là I(1;2)
Gọi $M(x_0;\frac{2x_0-3}{x_0-1})\in \copyright$
Tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị © tại M có phương trình
y=$\frac{1}{(x_0-1{)}^2}(x-x_0)+\frac{2x_0-3}{x_0-1}$
Giao điểm của $\Delta$ với hai tiệm cận của đồ thị © là $A(1;\frac{2x_0-4}{x_0-1})vàB(2x_0-1;2)$
ta có:IA=$|\frac{2x_0-4}{x_0-1}-2|=\frac{2}{|x_0-1|}$
IB=$2|x_0-1|$
Do đó diện tích $△IAB$ là: S=$\frac{1}{2}IAIB=2$
Gọi $p$ là nửa chu vi $△IAB$.Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp $△IAB$ là $r=\frac{S}{p}$=$\frac{2}{p}$
$r$ lớn nhất khi $p$ nhỏ nhất
mặt khác,ta có :$2p=IA+IB+AB=IA+IB+\sqrt{I{A}^2+I{B}^2}\ge 2\sqrt{IAIB}+\sqrt{2IAIB}=4+2\sqrt{2}$
Suy ra: $p_{min}=2+\sqrt{2}$,dấu bằng xẩy ra $\iff IA=IB\iff \frac{2}{|x_0-1|}=2|x_0-1|\iff [\begin{array}{c}{x}_0=0\\ x_0=2\end{array}$
với $x_0=0$,phương trình tiếp tuyến cần tìm là ${\Delta }_1$:y=x+3
với $x_0=2$,phương trình tiếp tuyến cần tìm là ${\Delta }_2$:y=x-1