Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:
a) d: và d':
;
b) d: và d':
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của ( α ) ta được: (2 – t) +(2 + t) + 5 = 0 ⇔ 0t = -9
Phương trình vô nghiệm, vậy đường thẳng d song song với ( α )
Thay x, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng d vào phương trình tổng quát của mặt phẳng ( α ) ta được: t + 2(1 + 2t) + (1 – t) – 3 = 0
⇔ 4t = 0 ⇔ t = 0
Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng ( α ) tại M 0 (0; 1; 1)
Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của ( α ) ta được: (3 – t) + (2 – t) + (1 + 2t) – 6 = 0 ⇔ 0t = 0
Phương trình luôn thỏa mãn với mọi t. Vậy d chứa trong ( α ) .
Giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d) và mp(α ) là nghiệm hệ phương trình:
Thay (1); (2); (3) vào (4) ta được:
1 + t + 3(2 – t) + 1 + 2t + 1 = 0
⇔ 0t + 9 = 0
Phương trình vô nghiệm
⇒ (d) không cắt (α).
Giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d) và mp(α) là nghiệm hệ phương trình:
Thay (1); (2); (3) vào (4) ta được:
1 + t + 1 + 2t + 2 – 3t – 4 = 0
⇔ 0t = 0
Phương trình có vô số nghiệm
⇒ (d) ⊂ (α)
hay (d) cắt (α) tại vô số điểm.
Giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d) và mp(α ) là nghiệm hệ phương trình:
Thay (1); (2); (3) vào (4) ta được:
3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) – (1 + t) – 2 = 0
⇔ 36 + 12t + 45 + 15t – 1 – t – 2 = 0
⇔ 26t + 78 = 0
⇔ t = -3
Vậy (d) cắt (α) tại một điểm M(0 ; 0 ; -2).
Dựa vào hình vẽ ta có
a) \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương thì hai đường thẳng \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\) song song
b) \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) không cùng phương thì hai đường thẳng \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\) cắt nhau
c) \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc thì hai đường thẳng \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\) vuông góc
a) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {10;2} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.10 + ( - 5).2 = 0\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \)
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y + 9 = 0\\10x + 2y + 7 = 10\end{array} \right.\) ta được nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{{52}}\\y = \frac{{93}}{{52}}\end{array} \right.\)
Suy ra hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) vuông góc và cắt nhau tại \(M\left( { - \frac{3}{{52}};\frac{{93}}{{52}}} \right)\)
b) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 4} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3, - 4} \right)\)
\(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\)song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm \(A(1;1)\) thuộc \({d_2}\), thay tọa độ của A vào phương trình \({d_1}\), ta được \(3.1 - 4.1 + 9 = 8 \ne 0\), suy ra A không thuộc đường thẳng \({d_1}\)
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) song song
c) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 4} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {6; - 8} \right)\)
Ta có \({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 3.( - 8) - ( - 4).6 = 0\)suy ra hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\)song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm \(A(1;1)\) thuộc \({d_2}\), thay tọa độ của A vào phương trình \({d_1}\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 5 + 4t\\1 = 4 + 3t\end{array} \right. \Leftrightarrow t = - 1\), suy ra A thuộc đường thẳng \({d_1}\)
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau
a) Đường thẳng d đi qua M1( -3 ; -2 ; 6) và có vectơ chỉ phương
(2 ; 3 ; 4).
Đường thẳng d' đi qua M2( 5 ; -1 ; 20) và có vectơ chỉ phương
(1 ; -4 ; 1).
Ta có
= (19 ; 2 ; -11) ;
= (8 ; 1 ; 14)
và
= (19.8 + 2 - 11.4) = 0
nên d và d' cắt nhau.
Nhận xét : Ta nhận thấy
,
không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình:![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20-3+2t%3D5+t%27%20%26%20%281%29%5C%5C%20-2+3t%3D-1-4t%27%20%26%20%282%29%20%5C%5C%206+4t%3D20+t%27%26%20%283%29%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.)
Từ (1) với (3), trừ vế với vế ta có 2t = 6 => t = -3, thay vào (1) có t' = -2, từ đó d và d' có điểm chung duy nhất M(3 ; 7 ; 18). Do đó d và d' cắt nhau.
b) Ta có :
(1 ; 1 ; -1) là vectơ chỉ phương của d và
(2 ; 2 ; -2) là vectơ chỉ phương của d' .
Ta thấy
và
cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm M(1 ; 2 ; 3) ∈ d ta thấy M
d' nên d và d' song song.