Cho tứ diên đều ABCD có các cạnh bằng a. Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD) và O là trung điểm đoạn thẳng AH. Chứng minh rằng các đường thẳng OB, OC và OD đôi một vuông góc.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
3 tháng 10 2018
a) (BC ⊥ OA & BC ⊥ OI ⇒ BC ⊥ (OAI)
⇒ (ABC) ⊥ (OAI).
b) + Xác định góc α giữa AB và mặt phẳng (AOI)
(A ∈ (OAI) & BI ⊥ (OAI) ⇒ ∠[(AB,(OAI))] = ∠(BAI) = α.
+ Tính α:
Trong tam giác vuông BAI, ta có: sinα = 1/2 ⇒ α = 30o.
c) Xác định góc β giữa hai đường thẳng AI và OB:
Gọi J là trung điểm OC,
ta có: IJ // OB và IJ ⊥ (AOC). Như vậy:
∠[(AB,OB)] = ∠[(AI,IJ)] = ∠(AIJ) = β.
+ Tính góc:
Trong tam giác IJA,
ta có: tan β = AJ/IJ = √5 ⇒ β = arctan√5.
CM
25 tháng 6 2017
Từ A vẽ AH ⊥ (BCD)
Xét ba tam giác ABH, ACH và ADH có:
AB= AC = AD ( vì ABCD là tứ diện đều).
AH chung
=> ∆ ABH = ∆ ACH =∆ ADH ( ch- cgv)
Suy ra,HB = HC = HD . Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
Do tam giác BCD là tam giác đều nên H đồng thời là trọng tâm tam giác BCD
Gọi M là trung điểm CD. Ta có;
+ xét tam giác AHB vuông tại H có:
CM
31 tháng 3 2017
CMR: BC ⊥ (ADH) và DH = a.
● Δ ABC đều, H là trung điểm BC nên AH BC, AD BC
⇒ BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DH.
⇒ DH = d(D, BC) = a
CM
11 tháng 11 2019
CMR: DI ⊥ (ABC).
● AD = a, DH = a ΔDAH cân tại D.
- Mặt khác I là trung điểm của AH nên DI ⊥ AH.
● BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DI.
⇒ DI ⊥ (ABC).
CM
5 tháng 8 2018
a) Tam giác ABC cân tại A có AI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:
AI ⊥ BC
+) Tương tự, tam giác BCD cân tại D có DI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:
DI ⊥ BC
+) Ta có: 
M
5 tháng 9 2023
Chúng ta biết rằng tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Vì vậy, ta có thể xem tứ diện OABC là một hình chữ nhật với cạnh OA, OB, OC.
Gọi SABC là diện tích của hình chữ nhật OABC. Ta có:
SABC = OA x OB
Gọi SHBC là diện tích của tam giác HBC. Ta có:
SHBC = 1/2 x HB x BC
Vì tứ diện OABC là một hình chữ nhật, nên ta có:
SOAB = OA x OB
Vậy, ta có:
(SOAB)2 = (OA x OB)2
= OA2 x OB2
= SABC x SHBC
= SABC + SHBC
Vậy, ta đã chứng minh được rằng (SOAB)2 = SABC + SHBC.
Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c}\)
Với \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=a\) và \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}=\frac{a^2}{2}\) (như trong hình vẽ)
Do hình chóp đã cho là hình chóp đều, nên H là trọng tâm của tam giác BCD, do đó :
\(\overrightarrow{AH}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\)
Suy ra \(\overrightarrow{AO}=\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\)
Vậy : \(\overrightarrow{OB}=\frac{1}{6}\left(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{5b}-\overrightarrow{c}\right)\) Và \(\overrightarrow{OC}=\frac{1}{6}\left(-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\right)\)
Từ đó :
\(36.\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}=\left(-\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\left(-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\right)\)
\(=\overrightarrow{a^2}^{ }+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}-5\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b^2}^{ }+25\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{c^2}\)
\(=\overrightarrow{a^2}-4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+26\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}-4\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b^2}^{ }-5\overrightarrow{c^2}\)
\(=a^2-2a^2+13a^2-2a^2-10a^2=0\)
Suy ra \(OB\perp OC\)
Chứng minh tương tự ta cũng được \(OC\perp OD,OD\perp OB\)