chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi a/b với a > 0, b > 0 là phân số đã cho và b/a là phân số nghịch đảo của nó . Không mất tính tổng quát giả sử 0 < a ≤ b.
Đặt b = a + m (m ∈ Z, m ≥ 0)
Ta có:
Và (dấu "=" xảy ra khi m = 0)
Suy ra:
Từ (1) và (2) suy ra:
, (dấu "=" xảy ra khi m = 0 hay a = b )
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giả sử phân số và nghịch đảo của nó là: \(\frac{a}{b};\frac{b}{a}\)
Do phân số dương nên( a;b) cùng dấu hay a.b>0
Ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)
Do đó: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi phân số dương là \(\dfrac{a}{b}\) . ( Không mất tính tổng quát )
Cho \(a>0,\) \(b>0\) và \(a\ge b\) . Ta có thể viết \(a=b+m\left(m\ge0\right)\) .
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m}{b}\ge1+\dfrac{m}{b+m}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m+b}{b+m}=2\)\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b\left(m=0\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
nói thật thì đó là toán lớp 8, lớp 9 chứ k phải lớp 6
gọi phân số đó là a/b, vì phân số dương => a.b dương. Ta phải đi chứng minh a/b+b/a lớn hơn hoặc bằng 2
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{a^2-ab-ab+b^2}{ab}+2=\frac{a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)}{ab}+2\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+2\ge2\)(vì (a-b)^2 lớn hơn hoặc bằng 0 và ab>0 => phân số đầu tiên không âm, suy ra tổng không nhỏ hơn 2)
Ai chs opoke đại chiên lh mik nha! Đỏi lấy nick olm hoặc cho mik
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giả sử phân số và nghịch đảo của nó là \(\frac{a}{b};\frac{b}{a}\)
Do phân số dương nên \(a;b\)cùng dấu hay \(a.b>0\)
Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)
Do đó \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta gọi phân số đó là \(\frac{a}{b}\) ,vì phân số dương\(\Rightarrow a.b=\)dương .
Ta chúng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{a^2-ab-ab+b^2}{ab}+2=\frac{a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)+2}{ab}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+2\ge2\)
Vì :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\) và \(ab>0\)
\(\Rightarrow\)Phân số không âm .
\(\Rightarrow\)Tổng không bé hơn 2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a. Gọi phân số cần tìm là \(\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow\) Phân số nghịch đảo là \(\frac{b}{a}\)
Theo bài ra, ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)+b\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì (a-b)2 chắc chắn lớn hơn hoặc bằng 0
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Vậy tổng của một phân số dương với ghịch đảo của nó luôn lớn hơn hoặc bằng 2.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
gọi p/s đó là a/b (a;b \(\in\) Z,b \(\ne\) 0)
Ta cần c/m \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Nhân cả 2 vế cho ab,ta đc:
\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right).ab\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b}{b}+\frac{b^2a}{a}\ge2ab\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (dấu "=" xảy ra <=>a=b0
BĐT cuối luôn đúng,ta có đpcm
Gọi phân số dương là \(\frac{a}{b}\).Không mất tích tổng quát giả sử a>0,b>0 và a\(\ge\) b.Ta có thể viết a=b+m(m\(\ge\) 0).Ta có;
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{m+b}\)
=\(1+\frac{m}{b}+\frac{b}{m+b}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}\)
=\(1+\frac{m+b}{b+m}=2\)
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Gọi phân số đó là a/b (ĐK: a,b # 0, a và b cùng dấu )
a/b + b/a ≥ 2 <=> (a² + b ²)/ab ≥ 2
<=> a² - 2ab + b² ≥ 0
<=> ( a – b )² ≥ 0 ( Luôn đúng với mọi a, b)
=> Đpcm
mk giải đc nè, tick mk nha!!
Gọi phân số dương là a/b. Ko mất tính tổng quát, giả sử như: a>0, b>0 và a > b. Ta có thể viết a=b+m ( m > 0). Ta có:
a/b+b/a=b+m/b+b/m+b=1+m/b+b/b+m > 1+ m/b+m+b/b+m=1+m+b/b+m=2.
Vậy a/b+b/a > 2.