CM với mọi n \(\in N\) \(2^n\ge n+1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CC
0
28 tháng 5 2017
\(A=\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}\left(1\right)\)
Với \(n=2\), BĐT \(\left(1\right)\) trở thành \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}>\sqrt{2}\) (đúng)
Giả sử \(\left(1\right)\) đúng với \(n=k\), nghĩa là \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{k}}>\sqrt{k}\left(2\right)\)
Ta chứng minh \(\left(1\right)\) đúng với \(n=k+1\). Thật vậy, từ \(\left(2\right)\) suy ra:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\)
Vì \(\sqrt{k}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}=\dfrac{\sqrt{k\left(k+1\right)}+1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}\)
Nên \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}\)
Tức là \(\left(1\right)\) đúng với \(n=k+1\).
Theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số tự nhiên \(n>1\)
TM
0
TN
2
14 tháng 10 2016
\(n^2\left(n^4-1\right)=n^2\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right).n.\left(n+1\right).\left(n^2+1\right)\)
\(=\left(n-1\right).n.\left(n+1\right).\left(n^2-4+5\right)\)
\(=\left(n-2\right).\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\)
Vì \(\left(n-2\right).\left(n-1\right).n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)\) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3,4,5 mà (3,4,5) = 1
Suy ra tích này chia hết cho 3x4x5 = 60 (1)
Mặt khác suy luận tương tự ta cũng suy ra được 5(n-1).n.(n+1) chia hết cho 60 (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
2 tháng 11 2016
Cho hình thoi ABCD có cạnh là a. Gọi r1 và r2 laf bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và ABD.
cmr: \(a.\frac{1}{r^2_1}+\frac{1}{r_2^2}=\frac{4}{a^2}\)
\(b.S_{ABCD}=\frac{8r_1^3r_2^3}{\left(r_1^2+r_2^2\right)^2}\)
1 tháng 1 2022
1: \(\Leftrightarrow a^5-a^4b+b^5-ab^4>=0\)
\(\Leftrightarrow a^4\left(a-b\right)-b^4\left(a-b\right)>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\cdot\left(a+b\right)\cdot\left(a^2+b^2\right)>=0\)(luôn đúng khi a,b dương)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 9 2020
- Với \(n=0\) thỏa mãn
- Giả sử BĐT đúng với \(n=k\) hay \(2^k\ge k+1\)
Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay \(2^{k+1}\ge k+2\)
Thật vậy, ta có: \(2^{k+1}=2.2^k\ge2\left(k+1\right)=2k+2\ge k+2\) với mọi k tự nhiên (đpcm)
2n = 2 . 2 . 2 ... 2 (n thừa số 2) \(\ge\) 1 (1)
Vì n \(\in\) N nên do đó n + 1 \(\ge\) 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2n \(\ge\) n + 1 (dấu = xảy ra <=> n = 0)