Cho tứ giác ABCD có AB vuông góc với CD và AB = 2, BC = 13,CD = 8,DA = 5. Tính diện tích tứ giác ABCD
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có :AH=x (x>0)
Xét tam giác AHD vuông ở H, ta có:
\(A{D^2} = A{H^2} + H{D^2} \Leftrightarrow H{D^2} = A{D^2} - A{H^2} = 25 - {x^2}\)
\( \Rightarrow HD = \sqrt {25 - {x^2}} \)
Ta có: \(HC = HD + DC = \sqrt {25 - {x^2}} + 8\)
\(HB = AH + AB = x + 2\)
Xét tam giác HBC vuông tại H, ta có:
\(\begin{array}{l}B{C^2} = H{B^2} + H{C^2}\\ \Leftrightarrow {13^2} = {(x + 2)^2} + {\left( {\sqrt {25 - {x^2}} + 8} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 169 = {x^2} + 4x + 4 + 25 - {x^2} + 16\sqrt {25 - {x^2}} + 64\\ \Leftrightarrow 16\sqrt {25 - {x^2}} = - 4x + 76\\ \Leftrightarrow 4\sqrt {25 - {x^2}} = - x + 19\end{array}\)
Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:
\(\begin{array}{l}16(25 - {x^2}) = {x^2} - 38x + 361\\ \Leftrightarrow 17{x^2} - 38x - 39 = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow x = 3\) hoặc \(x = \frac{{ - 13}}{{17}}\)
Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình, ta thấy hai giá trị đều thỏa mãn
Do x>0 nên ta chọn x = 3 => AH = 3
\(\begin{array}{l}HD = \sqrt {25 - {3^2}} = 4\\HC = 4 + 8 = 12\\HB = 3 + 2 = 5\end{array}\)
Diện tích tam giác HAD là \({S_1} = \frac{1}{2}.HA.HD = \frac{1}{2}.3.4 = 6\)
Diện tích tam giác HBC là \({S_2} = \frac{1}{2}.HB.HC = \frac{1}{2}.5.12 = 30\)
Vậy diện tích tứ giác ABCD là \(S = {S_2} - {S_1} = 30 - 6 = 24\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Vì E, F, G, H lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA nên EF, FG, GH, HE lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC, BCD, ADC, ADB nên
EF//HG (cùng song song với AC)
HE//FG (cùng song song với BD)
Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành
Mà A C ⊥ B D (gt) ⇒ E F ⊥ F G
Suy ra EFGH là hình chữ nhật
Do đó S E F G H = H E . E F mà E F = 1 2 A C ; H E = 1 2 B D (tính chất đường trung bình)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Vì E, F, G, H lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA nên EF, FG, GH, HE lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC, BCD, ADC, ADB nên
EF//HG (cùng song song với AC)
HE//FG (cùng song song với BD)
Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành
Mà A C ⊥ B D (gt) ⇒ E F ⊥ F G
Suy ra EFGH là hình chữ nhật
Do đó S E F G H = H E . E F mà E F = 1 2 A C ; H E = 1 2 B D (tính chất đường trung bình)
Đáp án D
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
AB=BM
nên \(S_{QAB}=S_{QBM}\)
DA=AQ
=>\(S_{BDA}=S_{BAQ}\)
=>\(S_{QAM}=2\cdot S_{ABD}\)
Tương tự, ta được: \(S_{MBN}=2\cdot S_{ABC};S_{NCP}=2\cdot S_{BCD};S_{PDQ}=2\cdot S_{ADC}\)
=>\(S_{MNPQ}=5\cdot S_{ABCD}=300\left(cm^2\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1: Xét ΔCAB có
F,E lần lượt là trung điểm của CA,CB
=>FE là đường trung bình của ΔCAB
=>FE//AB và \(FE=\dfrac{AB}{2}\)
Xét ΔDAB có
G,H lần lượt là trung điểm của DA,DB
=>GH là đường trung bình của ΔDAB
=>GH//AB và \(GH=\dfrac{AB}{2}\)
GH//AB
FE//AB
Do đó: GH//FE
Ta có: \(GH=\dfrac{AB}{2}\)
\(FE=\dfrac{AB}{2}\)
Do đó: GH=FE
Xét tứ giác EFGH có
GH=FE
GH//FE
Do đó: EFGH là hình bình hành
2: AB=CD
mà AB=8cm
nên CD=8cm
Xét ΔADC có
G,F lần lượt là trung điểm của AD,AC
=>GF là đường trung bình của ΔADC
=>GF//DC và \(GF=\dfrac{DC}{2}=4cm\)
GF//DC
DC\(\perp\)AB
Do đó: GF\(\perp\)AB
Ta có: GF\(\perp\)AB
AB//GH
Do đó: GH\(\perp\)GF
Xét hình bình hành GHEF có GH\(\perp\)GF
nên GHEF là hình chữ nhật
=>\(S_{GHEF}=GH\cdot GF=\dfrac{AB}{2}\cdot\dfrac{CD}{2}=4\cdot4=16\left(cm^2\right)\)
Bạn xem hình vẽ ở đây nhé: https://i.imgur.com/sh8KysD.png
Gọi CD giao AB tại O, Đặt OD=a, OA=b.
Xét tam giác OAD vuông tại O ta có
a^2 + b^2 =25
Xét tam giác OBC vuông tại O ta có
(a+8^2 )+ (b+2^2=13^2
Từ đó tính được a=84/17 hoặc a=4. Loại a=84/17vì với a=84/17 thì b<0
Với a=4 suy ra b=3. Khi đó SABCD=SOBC-SOAD=24
Bạn xem hình vẽ ở đây nhé: https://i.imgur.com/sh8KysD.png
Gọi CD giao AB tại O, Đặt OD=a, OA=b.
Xét tam giác OAD vuông tại O ta có \(a^2+b^2=25\)
Xét tam giác OBC vuông tại O ta có \(\left(a+8\right)^2+\left(b+2\right)^2=13^2\)
Từ đó tính được a \(=\frac{87}{17}\)hoặc a = 4. Loại a = \(\frac{87}{17}\)vì với a = \(\frac{87}{17}\) thì \(b< 0\)
Với a = 4 suy ra b = 3. Khi đó \(^SABCD=^SOBC-^SOAD=24\)