Question

[Yến Nhi]

cho tam giác ABC cân tại A có I là trung điểm của BC. Gọi M là điểm bất kì trên AI, BM và CM lần cắt nhau AC và AB tại E và D

a, Chứng minh: Tứ giác BDEC là hình thang cân

b, Xác định vị trí của điểm M trên AI để BD=DE=EC 

Answer 1

[Yuri Sweet[𝕿𝖊𝖆𝖒 𝕹𝖊𝖕𝖆𝖑]]

a)Vì I là trung điểm của BC

\(\Rightarrow\)AI là trung tuyến của \(\Delta ABC\)cân tại A

\(\Rightarrow AI\)là phân giác của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)

Vì \(\Delta ABC\)cân tại A \(\Rightarrow AB=AC\)

Xét \(\Delta BAM\)và \(\Delta CAM\),có:

\(\hept{\begin{cases}AB=AC\\\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\\AM:chung\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta BAM=\Delta CAM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ACM}\)(2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta ABE\)và \(\Delta ACD\),có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{ABM}=\widehat{ACM}\\AB=AC\\\widehat{BAC}:chung\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta ACD\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow AE=AD\)(2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\Delta ADE\)cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)

mà \(\Delta ABC\)cân tại A \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)

Mặt khác : \(\widehat{ADE}\)và \(\widehat{ABC}\)là 2 góc ở vị trí đồng vị

\(\Rightarrow DE//BC\)

\(\Rightarrow BDEC\)là hình thang

Ta có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(do \(\Delta ABC\)cân tại A)

\(\Rightarrow BDEC\)là hình thang cân

b)Vì BDEC là hình thang cân \(\Rightarrow BD=CE\)

Ta có :BD=CE \(\Leftrightarrow\Delta BDE\)cân tại B

\(\Leftrightarrow\widehat{DBE}=\widehat{DEB}\)

mà \(\widehat{DEB}=\widehat{EBC}\)(do DE//BC)

\(\Leftrightarrow\widehat{DBE}=\widehat{EBC}\)

\(\Leftrightarrow BE\)là phân giác của \(\widehat{ABC}\)

hay \(BM\)là phân giác của \(\widehat{ABC}\)

Vậy khi M là 1 điểm nằm trên AI sao cho BM là phân giác của \(\widehat{ABC}\)thì BD=DE=CE