Cho x+y=1. Tìm MIN của biểu thức \(A=x^2+y^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HP
12 tháng 8 2016
a, Từ x+y=1
=>x=1-y
Ta có: \(x^3+y^3=\left(1-y\right)^3+y^3=1-3y+3y^2-y^3+y^3\)
\(=3y^2-3y+1=3\left(y^2-y+\frac{1}{3}\right)=3\left(y^2-2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)\)
\(=3\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\right]=3\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\) với mọi y
=>GTNN của x3+y3 là 1/4
Dấu "=" xảy ra \(< =>\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0< =>y=\frac{1}{2}< =>x=y=\frac{1}{2}\) (vì x=1-y)
Vậy .......................................
b) Ta có: \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{y+x}\)
\(=\left(\frac{x^2}{y+z}+x\right)+\left(\frac{y^2}{z+x}+y\right)+\left(\frac{z^2}{y+z}+z\right)-\left(x+y+z\right)\)
\(=\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{y+z}-\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}-1\right)\)
Đặt \(A=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}\)
\(A=\left(\frac{x}{y+z}+1\right)+\left(\frac{y}{z+x}+1\right)+\left(\frac{z}{y+x}+1\right)-3\)
\(=\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{y+x}-3\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+x}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-3\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-3\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)
(phần này nhân phá ngoặc rồi dùng biến đổi tương đương)
\(=>P=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}-1\right)\ge2\left(\frac{3}{2}-1\right)=1\)
=>minP=1
Dấu "=" xảy ra <=>x=y=z
Vậy.....................
24 tháng 7 2016
C3 : Ta có ; \(B=\sqrt{x-4}+\sqrt{y-3}\) . Nhận xét : \(B\ge0\)
- Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : \(B^2=\left(1.\sqrt{x-4}+1.\sqrt{y-3}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-4+y-3\right)\)
\(\Rightarrow B^2\le16\Rightarrow B\le4\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x\ge4,y\ge3\\\sqrt{x-4}=\sqrt{y-3}\\x+y=15\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=8\\y=7\end{cases}}\)
Vậy B đạt giá trị lớn nhất bằng 4 tại (x;y) = (8;7)
Tìm GTNN và mấy bài tới để từ từ mình làm cho nhé , tại mạng đang chậm...
25 tháng 7 2016
C4 : Bạn cần thêm điều kiện x là số dương nhé : )
Ta có ; \(A=\frac{2x^2-6x+5}{2x}=x+\frac{5}{2x}-3\). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
\(x+\frac{5}{2x}\ge2\sqrt{x.\frac{5}{2x}}=\sqrt{10}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{5}{2x}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{5}{2}}\)
Vậy Min A = \(\sqrt{10}-3\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{5}{2}}\)
C5 : Bạn cần thêm điều kiện a,b là hằng số nhé :)
\(P=\frac{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}{x}=\frac{x^2+ax+bx+ab}{x}=x+\frac{ab}{x}+a+b\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : \(x+\frac{ab}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{ab}{x}}=2\sqrt{ab}\Rightarrow P\ge a+2\sqrt{ab}+b=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x^2=ab\Leftrightarrow x=ab\) (vì a,b,x > 0)
Vậy .......
J
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 9 2021
\(A^2=\left(x-y\right)^2=\left(1.x-\dfrac{1}{2}.2y\right)^2\le\left(1+\dfrac{1}{4}\right)\left(x^2+4y^2\right)=\dfrac{5}{4}\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)
\(A_{max}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(-\dfrac{2\sqrt{5}}{5};\dfrac{\sqrt{5}}{10}\right);\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5};-\dfrac{\sqrt{5}}{10}\right)\)
3 tháng 2 2018
VÌ x +7 >,= 0 với mọi x
=> ( x+7) + 2018 > , = 2018 VỚI MỌI X
hay A >,= 2018 VỚI MỌI X
MAX = 2018 VỚI MỌI X
<=> x+ 7 = 0
=> x= -7
vậy max = 2018 <=> x= -7
B
Cho hai số thực x, y thỏa x^2+xy+y^2=1. TÌm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=x^3*y+y^3*x
0
NT
0
Ta có: A=x2+y2=1-2xy
Vì x+y=1 => x=1-y
Khi đó A=1-2(1-y)y
=1-2y+2y2
=\(2\left(y^2-y+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}\)
=\(2\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\)
Vif \(2\left(y-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow A=2\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi y=1/2 <=> x=1/2
Vậy Amin=1/2 khi x=y=1/2