Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng có cùng tính chất chia hình vuông thành 2 tứ giác có tỉ số diện tích là 2/3. CMR: có ít nhất 505 đường thẳng trong 2018 đưởng thẳng đồng qui.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giả sử 1 đường thẳng d bất kì (trong 13 đường thẳng nói trên) cắt BC tại M và AD tại N sao cho \(\dfrac{S_{ABMN}}{S_{DCMN}}=\dfrac{2}{5}\)
Gọi E là trung điểm AB và F là trung điểm CD, d cắt EF tại G
\(\dfrac{S_{ABMN}}{S_{DCMN}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(BM+AN\right).AB}{\dfrac{1}{2}\left(CM+DN\right).AB}=\dfrac{BM+AN}{CM+DN}=\dfrac{2}{5}\)
Mặt khác do E, F là trung điểm AB, CD \(\Rightarrow EG\) là đường trung bình hình thang ABMN và FG là đường trung bình hình thang DCMN
\(\Rightarrow BM+AN=2EG\) ; \(CM+DN=2FG\)
\(\Rightarrow\dfrac{2EG}{2FG}=\dfrac{2}{5}\Rightarrow\dfrac{EG}{FG}=\dfrac{2}{5}\)
Hay G là điểm cố định nằm trên đoạn EF (cố định) chia đoạn EF theo tỉ lệ 2:5
Do tính đối xứng của hình vuông \(\Rightarrow\) có 4 điểm có tính chất tương tự G
Hay mọi đường thẳng trong 13 đường thẳng nói trên đều phải đi qua ít nhất 1 trong 4 điểm loại G
Theo định lý Dirichlet, tồn tại ít nhất \(\left[\dfrac{13}{4}\right]+1=4\) đường thẳng cùng đi qua 1 điểm