Question

[Ánh Tuyết]

cho\(\Delta ABM\) nhọn nội tiếp đường tròn O_{1 ,} trên tia đối cảu tia MB lấy điểm C sao cho AM là phân giác của\(\widehat{BAC}\), Gọi O^₂ là đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AMC\).

a) CM \(\Delta AO_1O_2~\Delta ABC\)

b) Gọi O là trung điểm của O₁O₂ và I là trung điểm của BC. CM \(\Delta AOI\)cân

c) Đường thẳng vuông góc với AM tại A tương ứng cắt các đường tròn (O₁), (O2) tại D,E( D và E khác A). Đường thẳng vuông góc với BC tại M cắt DE tại N . CM ND.AC=NE.AB

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Có ^AO₁O₂ = ^AO₁M/2 = 1/2.Sđ(AM của (O₁) = ^ABM = ^ABC. Tương tự ^AO₂O₁ = ^ACB

Suy ra \(\Delta\)AO₁O₂ ~ \(\Delta\)ABC (g.g) (đpcm).

b) Từ câu a ta có \(\Delta\)AO₁O₂ ~ \(\Delta\)ABC. Hai tam giác này có đường trung tuyến tương ứng AO,AI

Khi đó \(\Delta\)AOO₁ ~ \(\Delta\)AIB (c.g.c) => \(\frac{AO}{AO_1}=\frac{AI}{AB}\). Đồng thời ^OAI = ^O₁AB 

=> \(\Delta\)AOI ~ \(\Delta\)AO₁B (c.g.c). Mà \(\Delta\)AO₁B cân tại O₁ nên \(\Delta\)AOI cân tại O (đpcm).

c) Xét đường tròn (O₁): ^DAM nội tiếp, ^DAM = 90⁰ => DM là đường kính của (O₁)

=> ^DBM = 90⁰ => DB vuông góc với BC. Tương tự EC vuông góc với BC

Do vậy BD // MN // CE. Bằng hệ quả ĐL Thales, dễ suy ra \(\frac{ND}{NE}=\frac{MB}{MC}\)(1)

Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác ta có \(\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{ND}{NE}=\frac{AB}{AC}\)=> ND.AC = NE.AB (đpcm).