Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt P=(a-b)(a-c)(a-d)(a-e)(b-c)(b-d)(b-e)(c-d)(c-e)(d-e)
*Với 5 số a,b,c,d,e có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư, không mất tính tổng quát giả sử hai số đó là a và b khi đó a-b chia hết cho 3. Bỏ đi b, xét 4 số còn lại. Trong 4 số này có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư, không mất tính tổng quát giả sử 2 số đó là d và e khi đó d-e chia hết cho 3. =>P chia hết cho 9(1).
*Trong 5 số tự nhiên có ít nhất 3 số cùng tính chẵn lẻ.
-Nếu có cả 5 số cùng tính chẵn lẻ hiển nhiên tất cả các thừa số của P đều chia hết cho 2.
=>P chia hết cho
=>P chia hết cho
=>P chia hết cho 32
-Nếu trong 5 số có 4 số cùng tính chẵn lẻ, 4 số này tạo ra 6 thừa số của tích, mà mỗi tích đều chia hết cho 2.
=>P chia hết cho
=>P chia hết cho
=>P chia hết cho 32
-Nếu trong 5 số có 3 số cùng tính chẵn, không mất tính tổng quát giả sử đó là a,b,c.
Đặt a=2.m,b=2.n,c=2.p,d=2.q+1,e=2.l+1
=>P là tích của 16(m-n)(m-p)(n-p)(q-l) và 6 thừa số lẻ. Trong 3 số m,n,p có ít nhất 2 số cùng tính chẵn lẻ, chúng tạo ra 1 thừa số chia hết cho 2.
=>P chia hết cho 32
Tương tự với 3 số cùng lẻ và 2 số cùng chẵn thì P chia hết cho 32.
=> P chia hết cho 32(2).
Từ (1) và (2) ta thấy: P chia hết cho 9 và 32.
Mà (9,32)=1
=>P chia hết cho 9.32.
=>P chia hết cho 288
=> ĐPCM
Đặt P=(a-b)(a-c)(a-d)(a-e)(b-c)(b-d)(b-e)(c-d)(c-e)(d-e)
*Với 5 số a,b,c,d,e có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư, không mất tính tổng quát giả sử hai số đó là a và b khi đó a-b chia hết cho 3. Bỏ đi b, xét 4 số còn lại. Trong 4 số này có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư, không mất tính tổng quát giả sử 2 số đó là d và e khi đó d-e chia hết cho 3. =>P chia hết cho 9(1).
*Trong 5 số tự nhiên có ít nhất 3 số cùng tính chẵn lẻ.
-Nếu có cả 5 số cùng tính chẵn lẻ hiển nhiên tất cả các thừa số của P đều chia hết cho 2.
=>P chia hết cho
=>P chia hết cho
=>P chia hết cho 32
-Nếu trong 5 số có 4 số cùng tính chẵn lẻ, 4 số này tạo ra 6 thừa số của tích, mà mỗi tích đều chia hết cho 2.
=>P chia hết cho
=>P chia hết cho
=>P chia hết cho 32
-Nếu trong 5 số có 3 số cùng tính chẵn, không mất tính tổng quát giả sử đó là a,b,c.
Đặt a=2.m,b=2.n,c=2.p,d=2.q+1,e=2.l+1
=>P là tích của 16(m-n)(m-p)(n-p)(q-l) và 6 thừa số lẻ. Trong 3 số m,n,p có ít nhất 2 số cùng tính chẵn lẻ, chúng tạo ra 1 thừa số chia hết cho 2.
=>P chia hết cho 32
Tương tự với 3 số cùng lẻ và 2 số cùng chẵn thì P chia hết cho 32.
=> P chia hết cho 32(2).
Từ (1) và (2) ta thấy: P chia hết cho 9 và 32.
Mà (9,32)=1
=>P chia hết cho 9.32.
=>P chia hết cho 288
=> ĐPCM
Có $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=(a+b)^2+(c+d)^2+e^2-2ab-2cd$
$=(a+b+c+d)^2+e^2 -2.(a+b)(c+d)-2ab-2cd$
$=(a+b+c+d+e)^2-2.(a+b+c+d).e-2.(a+b)(c+d)-2ab-2cd$
Mà $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\vdots 2;-2.(a+b+c+d).e-2.(a+b)(c+d)-2ab-2cd \vdots 2$ nên $(a+b+c+d+e)^2 \vdots 2$
Suy ra $a+b+c+d+e \vdots 2$
$a;b;c;d;e$ nguyên dương nên $a+b+c+d>2$
suy ra $a+b+c+d+e$ là hợp số
viết dạng hệ cho dẽ nhìn
a^b = b^c (1)
b^c = c^d (2)
c^d = d^e (3)
d^e = e^a(4)
e^a=a^b(5)
*********dùng pp phải chứng
*******************
giả sử có 5 số tự nhiên thỏa mãn trên
không thay đổi ý nghia giả sử
a>=b>=c>=d>e>=1
*****hàm mũ lũy thừa cơ số 1 rất đặc biệt khử cái này trước*******
nếu e=1
=> a>=b>=c>=d>=2 (*)
từ (5) => a=1 hoặc b=0 => không thỏa mãn (*)=> e<>1
ok
giờ có
a>=b>=c>=d>e>=2
từ(3)
c^d = d^e (3)
c>=d=> d<=e mâu thuẫn d>e
các số a,b,c,d,e có thể hoán đổi vị trí cho nhau
=>ít nhất có một phương trình không thỏa mãn
=> dpcm
\(a^2-a=a.\left(a-1\right)⋮2\)
tương tự b2-b,c2-c,d2-d,e2-e
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-\left(a+b+c+d\right)⋮2\text{ mà }a^2+b^2+c^2+d^2+e^2⋮2\)
\(\Rightarrow a+b+c+d⋮2\text{ mà }a+b+c+d\ge4\Rightarrow a+b+c+d\text{ là hợp số}\)
Giả sử \(a\ne b\). Xét TH \(a< b\)thì
\(b^c=a^b< b^b\Rightarrow b>c\)
\(c^d=b^c>c^c\Rightarrow c< d\)
\(d^e=c^d< d^d\Rightarrow e< d\)
\(e^a=d^e>e^e\Rightarrow a>e\)
\(e^a=a^b>e^b\Rightarrow a>b\)
Trái với điều \(a< b\)nên \(a=b\)
Từ đó, ta suy ra được \(a=b=c=d=e\)
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{d}{e}=k\Rightarrow a=bk;b=ck;c=dk;d=ek\)
\(\Rightarrow a=bk=ck^2=dk^3=ek^4;b=ek^3\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{e}=\dfrac{ek^4}{e}=k^4\left(1\right)\)
Ta có \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{d}{e}\Rightarrow\dfrac{a^4}{b^4}=\dfrac{b^4}{c^4}=\dfrac{c^4}{d^4}=\dfrac{d^4}{e^4}=\dfrac{2a^4+3b^4+4c^4+5d^4}{2b^4+3c^4+4d^4+5e^4}\left(2\right)\)
Lại có \(\dfrac{a^4}{b^4}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^4=\left(\dfrac{ek^4}{ek^3}\right)^4=k^4\left(3\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\RightarrowĐpcm\)
Không mất tính tổng quát,
Giả sử a<b
Ta có: ab=bc => c<b
Ta có: bc=cd => c<d
Ta có: cd=de => e<d
Ta có: de=ea => a>e
Ta có: ea=ab => a>b ( trái với giả sử)
Vậy a=b=c=d=e
=> ba=bc=cd=de=ea
e<a