Chứng Minh Rằng:
C = \(\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+...+\frac{1}{2499}\)
D = \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{10^2}< 1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
YA
22 tháng 2 2017
a) Ta có : \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1\cdot2}\)
\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3\cdot4}\)
. . .
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99\cdot100}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{2^2}\left(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{49\cdot50}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{4}\left(1+1-\frac{1}{50}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{4}\cdot\frac{99}{50}=\frac{99}{200}< \frac{100}{200}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
b) Ta có :
\(B=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{2499}{2500}>48\)
\(\Rightarrow1-\frac{1}{4}+1-\frac{1}{9}+...+1-\frac{1}{2500}>48\)
\(\Rightarrow49-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}\right)< 49\)
Lại có : \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1\cdot2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2\cdot3}\)
. . .
\(\frac{1}{50^2}< \frac{1}{49\cdot50}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{50^2}< \frac{49}{50}< 1\)
\(\Rightarrow-\left(\frac{1}{2^2}+...=\frac{1}{50^2}\right)>1\)
\(\Rightarrow49-\left(\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{50^2}\right)>49-1=48\)
hay \(\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+...+\frac{2499}{2500}>48\left(đpcm\right)\)
S
2 tháng 5 2017
a, \(\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+\frac{1}{63}=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}\right)+\left(\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+\frac{1}{63}\right)\)
Ta có: \(\frac{1}{13}< \frac{1}{12};\frac{1}{14}< \frac{1}{12};\frac{1}{15}< \frac{1}{12}\Rightarrow\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}< \frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{61}< \frac{1}{60};\frac{1}{62}< \frac{1}{60};\frac{1}{63}< \frac{1}{60}\Rightarrow\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+\frac{1}{63}< \frac{1}{60}+\frac{1}{60}+\frac{1}{60}=\frac{3}{60}=\frac{1}{20}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+\frac{1}{63}< \frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}=\frac{1}{2}\)
Vậy...
S
2 tháng 5 2017
b, Đặt A là tên của tổng trên
Ta có: \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{100^2}=\frac{1}{2^2}\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)\)
Đặt B là biêu thức trong ngoặc
Ta có: \(1=1;\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};....;\frac{1}{50^2}< \frac{1}{49.50}\)
\(\Rightarrow B< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.50}\)
\(\Rightarrow B< 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)
\(\Rightarrow B< 2-\frac{1}{50}< 2\)
Thay B vào A ta được:
\(A< \frac{1}{2^2}.2=\frac{1}{2}\)
22 tháng 7 2019
Mik lười quá bạn tham khảo câu 3 tại đây nhé:
Câu hỏi của nguyen linh nhi - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
22 tháng 7 2019
\(S=\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+...+\frac{1}{37\cdot38\cdot39}\)
\(2S=\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{37\cdot38}-\frac{1}{38\cdot39}\)
\(2S=\frac{1}{2}-\frac{1}{38\cdot39}\)
\(S=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\cdot38\cdot39}< \frac{1}{4}\)
1 tháng 7 2017
Ta có : D = \(2\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{25}+.....+\frac{1}{n\left(n+2\right)}\right)\)
\(\Rightarrow D=\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+.....+\frac{2}{n\left(n+2\right)}\)
\(\Rightarrow D=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+.....+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
\(\Rightarrow D=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\)
Vậy D không phải là số nguyên (đpcm)
1 tháng 7 2017
\(D=2.\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+...+\frac{1}{n\left(n+2\right)}\right)\)
\(D=\frac{2}{3}+\frac{2}{15}+\frac{2}{35}+...+\frac{2}{n\left(n+2\right)}\)
\(D=\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+...+\frac{2}{n\left(n+2\right)}\)
\(D=\frac{3-1}{1.3}+\frac{5-3}{3.5}+\frac{7-5}{5.7}+...+\frac{\left(n+2\right)-n}{n\left(n+2\right)}\)
\(D=\frac{3}{1.3}-\frac{1}{1.3}+\frac{5}{3.5}-\frac{3}{3.5}+\frac{7}{5.7}-\frac{5}{5.7}+...+\frac{\left(n+2\right)}{n\left(n+2\right)}-\frac{n}{n\left(n+2\right)}\)
\(D=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\)
\(D=\frac{1}{1}-\frac{1}{n+2}\)
\(D=\frac{n+2}{n+2}-\frac{1}{n+2}\)
\(D=\frac{n+2-1}{n+2}\)
\(D=\frac{n+1}{n+2}\Rightarrow D\notin Z\left(dpcm\right)\)
NT
4
26 tháng 4 2018
Ta có :
\(\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+...+\frac{1}{2499}\)
\(=\)\(\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}+\frac{2}{15}+\frac{2}{35}+...+\frac{2}{2499}\right)\) ( bước này hơi khó hiểu tí nhé )
\(=\)\(\frac{1}{2}\left(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+...+\frac{2}{49.51}\right)\) ( phân tích mẫu )
\(=\)\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{51}\right)\) ( áp dụng công thức thoi )
\(=\)\(\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{51}\right)\) ( loại bỏ nhưng phân số đối nhau )
\(=\)\(\frac{1}{2}.\frac{50}{51}\)
\(=\)\(\frac{25}{51}\)
Chúc bạn học tốt ~
YN
26 tháng 4 2018
ĐẶT \(A\)\(=\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+...+\frac{1}{49\cdot51}\)
\(2.A=\frac{2}{1\cdot3}+\frac{2}{3\cdot5}+\frac{2}{5\cdot7}+...+\frac{2}{49\cdot51}\)
\(2.A=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{51}\)
\(2.A=1-\frac{1}{51}\)
\(2.A=\frac{50}{51}\)
\(\Rightarrow A=\frac{50}{51}\div2=\frac{25}{51}\)
HL
0
Câu \(C=\left(...\right)\) thiếu đề
Ta có :
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
\(............\)
\(\frac{1}{10^2}< \frac{1}{9.10}\)
\(\Rightarrow\)\(D=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{10^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{9.10}\)
\(\Rightarrow\)\(D< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)
\(\Rightarrow\)\(D< 1-\frac{1}{10}< 1\)
\(\Rightarrow\)\(D< 1\) ( đpcm )
Vậy \(D< 1\)
Chúc bạn học tốt ~
\(C=\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+....+\frac{1}{2499}\)
\(C=\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+........+\frac{1}{49.51}\)
\(C=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+.....+\frac{2}{49.51}\right)\)
\(C=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+......+\frac{1}{49}-\frac{1}{51}\right)\)
\(C=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{51}\right)\)
\(C=\frac{1}{2}.\frac{16}{51}\)
\(C=\frac{8}{51}\)
\(D=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+......+\frac{1}{10^2}\)
ta có :
\(\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2.2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}=\frac{1}{3.3}< \frac{1}{2.3}\)
\(....................\)
\(\frac{1}{10^2}=\frac{1}{10.10}< \frac{1}{9.10}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+......+\frac{1}{10^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+........+\frac{1}{9.10}\)
\(\Rightarrow D< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+........+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)
\(\Rightarrow D< 1-\frac{1}{10}\)
\(\Rightarrow D< \frac{9}{10}\) ( 1 )
mà \(\frac{9}{10}< 1\) ( 2 )
từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow D< 1\left(\text{đ}pcm\right)\)